Hilberts Satz 90

mathematischer Satz

Der mathematische Satz, den David Hilbert unter der Nummer 90 in seiner Theorie der algebraischen Zahlkörper aufführt und der seither diesen Namen trägt, macht eine Aussage über die Struktur bestimmter Körpererweiterungen. Er wurde en passant bereits 1855 von Kummer bewiesen.[1]

Ursprüngliche FassungBearbeiten

Es sei   eine zyklische Galoiserweiterung und   ein Erzeuger der zugehörigen Galoisgruppe. Dann ist jedes   mit Norm   von der Form

 

mit einem geeigneten  .

Galoiskohomologische FassungBearbeiten

  ist ein Körper,   eine galoissche Körpererweiterung und  . Dann folgt für die Galoiskohomologie:

 

Algebraisch-geometrische FassungBearbeiten

Es sei   ein Schema. Dann ist

 

Anders ausgedrückt: Jedes étale-lokal triviale Geradenbündel ist bereits ein Zariski-Geradenbündel.

Hilbert 90 für motivische KohomologieBearbeiten

Die ursprüngliche Fassung verallgemeinert sich in der motivischen Kohomologie zur Exaktheit von

 

für zyklische Galoisüberlagerungen   mit Erzeuger  . Für das Spektrum eines Körpers erhält man die ursprüngliche Fassung zurück.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Franz Lemmermeyer (2018): 120 Jahre Hilberts Zahlbericht. (PDF; 541 kB). Jahresberichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 120 (1), 41–79, siehe S. 10.