Norm (Körpererweiterung)

In der Körpertheorie ist die Norm einer Körpererweiterung eine spezielle, der Erweiterung zugeordnete Abbildung. Sie bildet jedes Element des größeren Körpers auf den kleineren Körper ab.

Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm eines normierten Vektorraums, er wird daher manchmal im Gegensatz zur Vektornorm auch Körpernorm genannt.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine endliche Körpererweiterung. Ein fest gewähltes Element   definiert eine  -lineare Abbildung

 

Ihre Determinante heißt die Norm von  , geschrieben  . Sie ist ein Element von  ; die Norm ist also eine Abbildung

 

EigenschaftenBearbeiten

  • Genau für   gilt  .
  • Die Norm ist multiplikativ, d. h.
  für alle  .
Eingeschränkt auf die multiplikativen Gruppen ist die Norm also ein Homomorphismus
 
  • Ist   eine weitere endliche Körpererweiterung, dann hat man die drei Normfunktionen   und  , die in der folgenden, als Transitivität der Norm bezeichneten, Beziehung stehen:
  für alle  .
  • Ist  , so gilt  .
  • Ist   mit dem Minimalpolynom   vom Grad  ,   das Absolutglied von   und  , dann gilt:
 
  • Ist   eine endliche Körpererweiterung mit  , wobei   die Anzahl der Elemente   in  , der Menge aller  -Homomorphismen von   in den algebraischen Abschluss   von  , sei. Dann gilt[1] für jedes Element  
 
Ist   insbesondere galoissch mit Galoisgruppe  , so bedeutet dies
 

BeispieleBearbeiten

 .
  • Die Norm von   ist die Abbildung
  für  .
  • Die Norm von   ist die Abbildung
 .

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bosch, Algebra 5. Auflage, 2004, S. 196ff