Galoisgruppe

geordnete Menge mit bestimmten Eigenschaften

Die Galoisgruppe (nach Évariste Galois) ist eine Gruppe, mit deren Hilfe Körpererweiterungen in der Algebra untersucht werden können.

Die Zwischenkörper einer Körpererweiterung lassen sich gewissen Untergruppen der Galoisgruppe zuordnen. Damit kann man Strukturuntersuchungen von Körpererweiterungen mit gruppentheoretischen Untersuchungen in Verbindung bringen. Da zu endlichdimensionalen Körpererweiterungen endliche Galoisgruppen gehören, können damit solche Strukturuntersuchungen oft stark vereinfacht werden.

Historisch bedeutsam war, dass die klassischen Fragen der Konstruierbarkeit – mit Zirkel und Lineal – gewisser algebraischer Zahlen damit in eine gruppentheoretische Formulierung übersetzt werden konnten. Einzelheiten zur klassischen Fragestellung der Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal, Beispiele und deren moderne Lösung siehe unter → Konstruierbares Polygon.

DefinitionBearbeiten

Sei   (lies: „  über  “) eine Körpererweiterung. Das heißt:   und   sind Körper und der Körper   ist als Unterring in   enthalten. Damit ist   zugleich ein (nicht notwendig endlichdimensionaler)  -Vektorraum.

In dieser Situation heißt die Gruppe aller Körperautomorphismen des Erweiterungskörpers  , die den Grundkörper   elementweise festlassen, die Galoisgruppe von   über   und wird mit   bezeichnet, formal

 .

Dies kann auch so formuliert werden: Die Galoisgruppe von   über   besteht genau aus den Körperautomorphismen von  , die zugleich Vektorraumendomorphismen von   als  -Vektorraum sind.

Galoisgruppe eines PolynomsBearbeiten

Sei   ein Körper. Als Galoisgruppe des Polynoms   im Polynomring   wird die Gruppe   bezeichnet, wobei   ein Zerfällungskörper des Polynoms   ist. Man spricht in diesem Fall auch von dem Zerfällungskörper, da Zerfällungskörper – und damit die Galoisgruppe eines Polynoms – bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind.

Der Zerfällungskörper   eines Polynoms ist normal über dem Grundkörper  . In diesem Fall ist die – hier endlichdimensionale – Körpererweiterung   bereits dann galoissch, wenn die über   irreduziblen Faktoren von   separabel sind. Der Artikel Galoistheorie behandelt den Begriff der Galoisgruppe eines Polynoms, für diesen Fall genügt die unten genannte erste Fassung des Hauptsatzes – der Hauptsatz für endliche Galoiserweiterungen.

Abweichende Bedeutungen des BegriffsBearbeiten

Besonders nützlich ist die Galoisgruppe, wenn die Körpererweiterung   eine Galoiserweiterung (s. u.) ist. In der Literatur wird oft nur in diesem Falle von „Galoisgruppe“ gesprochen. Die in diesem Artikel verwendete Gruppe der  -Automorphismen von   wird dann mit   bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Galoisgruppe ist eine Untergruppe der Automorphismengruppe von  .
  • Ist die Körpererweiterung   endlich, d. h. ist   endlichdimensional über  , so ist die Gruppenordnung von   kleiner gleich dem Erweiterungsgrad  . In diesem Fall existiert für jedes Körperelement   das Minimalpolynom   von   über  . Ist   eine endliche Galoiserweiterung, dann gilt  .
  • Sei   ein Zerfällungskörper des Polynoms   über  . Jeder Automorphismus aus der Galoisgruppe   des Polynoms   bildet eine Nullstelle von   wieder auf eine Nullstelle ab. Die Galoisgruppe operiert also auf der Menge   der Nullstellen von   im Körper   als Permutationsgruppe und ist damit isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe  . Für ein separables, über   irreduzibles Polynom   ist diese Operation sogar transitiv, das heißt zu zwei verschiedenen Nullstellen   gibt es ein Element   der Galoisgruppe, das   auf   abbildet:  .

Galoiskorrespondenz, Abgeschlossene Untergruppen und Zwischenkörper Bearbeiten

Man kann jedem Zwischenkörper   der Erweiterung   die Untergruppe der Galoisgruppe   zuordnen, deren Elemente   elementweise fest lässt, und umgekehrt jeder Untergruppe   von   den Zwischenkörper, den sie fixiert. Nach Hungerford (1981) wird hier für beide Zuordnungen, die beide auch als Galoiskorrespondenz bezeichnet werden, die „Priming-Notation“ verwendet:

 
 

Für Zwischenkörper   und   der Erweiterung, Untergruppen   und   von   gelten folgende Beziehungen:

  1.   und  ,
  2.  ,
  3.  ,
  4.  ,
  5.   und  ,
  6.   und  .

Die Körpererweiterung   heißt hier Galoiserweiterung, wenn sie normal und separabel ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn   gilt, wenn also die Galoisgruppe außer dem Grundkörper keine weiteren Elemente von   fixiert. Da in allen Fällen   gilt, ist die Erweiterung genau dann galoissch, wenn   ist. Dieselbe Bedingung gilt für Zwischenkörper  : Die Erweiterung   ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn   gilt. Die Begriffe normal und separabel werden im Artikel Körpererweiterung unabhängig von den hier verwendeten Zuordnungen definiert. Dort wird im Abschnitt Galoiserweiterung dieselbe für den Fall definiert, dass die Erweiterung algebraisch ist. Die hier verwendete Definition lässt nach Emil Artin und Hungerford (1981) auch nicht algebraische Erweiterungen zu.

AbgeschlossenheitBearbeiten

Nach Hungerford (1981) heißt eine Untergruppe   der Galoisgruppe oder ein Zwischenkörper   der Erweiterung abgeschlossen, wenn   gilt.

  • Alle Objekte  , die als Bilder der oben beschriebenen Korrespondenzen auftreten, sind abgeschlossen (nach 6.).
  • Die triviale Untergruppe 1,   und   sind abgeschlossen.
  • Die Erweiterung   ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn   abgeschlossen ist.

Mit den am Anfang des Abschnitts vereinbarten Bezeichnungen gilt:

  • Wenn   abgeschlossen ist und   endlich ist, dann ist   abgeschlossen und es gilt  .
  • Wenn   abgeschlossen ist und   endlich ist, dann ist   abgeschlossen und  .
  • Speziell gilt (für  ): Jede endliche Untergruppe der Galoisgruppe ist abgeschlossen.
  • Wenn   eine endlichdimensionale Galoiserweiterung von   ist, dann sind alle Zwischenkörper und alle Untergruppen der Galoisgruppe abgeschlossen und die Galoisgruppe hat die Ordnung  .

Hauptsätze der GaloistheorieBearbeiten

Endlichdimensionale KörpererweitungBearbeiten

Ist   eine endlichdimensionale Galoiserweiterung von  , dann vermittelt die Galoiskorrespondenz eine Bijektion zwischen der Menge der Zwischenkörper und der Menge der Untergruppen der Galoisgruppe. Diese Korrespondenz bildet den Teilmengenverband der Zwischenkörper (mit der Ordnung  ) auf den Verband der Untergruppen (mit der Ordnung  ) ordnungstreu ab, wobei die Teilmengenbeziehung umgekehrt wird. Dabei gilt:

  1. Die relative Dimension von zwei Zwischenkörpern ist gleich dem relativen Index der korrespondierenden Untergruppen.
  2.   ist galoissch über jedem Zwischenkörper  . Die Galoisgruppe   stimmt mit der Untergruppe   überein.
  3. Ein Zwischenkörper   ist galoissch über   genau dann, wenn die korrespondierende Untergruppe   ein Normalteiler der Galoisgruppe   ist. In diesem Fall ist die Faktorgruppe   isomorph zur Galoisgruppe   des Körpers   über  .

Unendlichdimensionale algebraische ErweiterungBearbeiten

Ist   eine algebraische, nicht notwendig endlichdimensionale Galoiserweiterung von  , dann vermittelt die Galoiskorrespondenz eine Bijektion zwischen der Menge aller Zwischenkörper und der Menge der abgeschlossenen Untergruppen der Galoisgruppe. Diese Korrespondenz bildet den Teilmengenverband der Zwischenkörper (mit der Ordnung  ) auf den Verband der abgeschlossenen Untergruppen (mit der Ordnung  ) ordnungstreu ab, wobei die Teilmengenbeziehung umgekehrt wird. Dabei gilt:

  1.   ist galoissch über jedem Zwischenkörper  . Die Galoisgruppe   stimmt mit der Untergruppe   überein.
  2. Ein Zwischenkörper   ist galoissch über   genau dann, wenn die korrespondierende Untergruppe   ein Normalteiler der Galoisgruppe   ist. In diesem Fall ist die Faktorgruppe   isomorph zur Galoisgruppe   des Körpers   über  .

BeispieleBearbeiten

  • Die komplexen Zahlen sind ein Körper und enthalten den Körper der reellen Zahlen. Also ist   eine Körpererweiterung. Da   ein Vektorraum der Dimension 2 über   ist (  ist eine Basis), gilt  . Die Galoisgruppe enthält die Identität und die komplexe Konjugation. Die Wurzelmenge des Minimalpolynoms   ist  . Die Identität bildet diese beiden Elemente wieder auf sich selbst ab, während sie von der komplexen Konjugation permutiert werden. Also ist die Galoisgruppe eingeschränkt auf die Wurzelmenge isomorph zur symmetrischen Gruppe  .
  • Weitere ausführliche Beispiele für die Berechnung einer Galoisgruppe:
  • Sei   der Körper der rationalen Funktionen   über  . Dann ist für jede Zahl   die durch   definierte Abbildung ein  -Automorphismus. Ist der Körper   unendlich, so gibt es unendlich viele dieser Automorphismen und die Galoisgruppe   ist eine unendliche Gruppe. Ist das Element   selbst keine Einheitswurzel, dann ist die von dem Automorphismus   erzeugte Untergruppe von   nicht abgeschlossen.
  • Der Körper der reellen Zahlen lässt keine nichttrivialen Automorphismen zu, denn seine Anordnung ist eine algebraische Invariante: Es ist   für zwei reelle Zahlen genau dann, wenn   ein Quadrat ist. Daher ist der Körper der reellen Zahlen über keinem seiner echten Teilkörper galoissch, dasselbe gilt für den Körper der reellen algebraischen Zahlen.
  • Allgemeiner trifft das auf alle euklidischen Körper zu: die Galoisgruppe eines euklidischen Körpers über einem seiner Teilkörper ist immer die triviale Gruppe.

Galoisgruppe eines kubischen PolynomsBearbeiten

Das folgende ausführliche Beispiel zeigt am Polynom  , wie mit Hilfe der Galoisgruppe Zwischenkörper bestimmt werden können.

Der von der reellen Zahl   über   erzeugte Zahlkörper   hat die Galoisgruppe 1, da keine weiteren Nullstellen des Minimalpolynoms   von   im (reellen!) Zahlkörper   liegen. Diese Erweiterung ist also nicht galoissch. Ihr Grad ist 3, da   isomorph zu dem Faktorring   ist (siehe Faktorring). Dasselbe gilt für die beiden Zahlkörper   und  , die von den beiden nichtreellen Wurzeln   und   von   über   erzeugt werden. Alle drei Körper sind isomorphe Zwischenkörper des Zerfällungskörpers   des Polynoms  .

Da der Grundkörper   als Körper mit der Charakteristik 0 perfekt ist, ist der gesuchte Zerfällungskörper   eine Galoiserweiterung von   und die Galoisgruppe   muss transitiv auf den Nullstellen von   operieren. Die einzige echte Untergruppe der symmetrischen Gruppe  , die transitiv auf   operiert, ist der von dem 3-Zyklus   erzeugte Normalteiler der  , die alternierende Gruppe  . Da wir bereits drei echte Zwischenkörper identifiziert haben und die   keine echten Untergruppen hat, kann es sich noch nicht um die volle Galoisgruppe handeln. Diese kann also nur die volle symmetrische Gruppe sein, es gilt also

 .

Neben den Zwischenkörpern, die wir schon identifiziert haben, muss noch ein normaler Zwischenkörper   vorhanden sein, der zweidimensional über   ist (Index von  ). Dieser bleibt fix unter zyklischen Vertauschungen der Nullstellen, das trifft nur auf den Kreisteilungskörper der dritten Einheitswurzeln zu, der durch die Einheitswurzel   erzeugt wird. Alle Ergebnisse werden in dem Diagramm unten gezeigt.

 
Untergruppenverband der Galoisgruppe und Zwischenkörperverband der Körpererweiterung F im Beispiel. Die Pfeile im linken Diagramm sind als „ist Untergruppe von“ (dünn) bzw. „ist Normalteiler von“ (dick) zu lesen, im rechten Diagramm als „ist Erweiterung von“ (dünn) bzw. „ist Galoiserweiterung von“ (dick). Die Zahlen an den Pfeilen bedeuten im linken Diagramm relative Indizes, im rechten Diagramm die relative Dimension der Erweiterung. Schiebt man die beiden Graphen übereinander, so kommen die Objekte aufeinander zu liegen, die einander bei der Galoiskorrespondenz entsprechen. So wird z. B. der reelle Körper L1 durch die Gruppe <(2,3)> fixiert, der erzeugende Automorphismus, der die beiden nichtreellen Wurzeln von f vertauscht, ist auf F die Einschränkung der komplexen Konjugation.

Die Zwischenkörper können nun unter anderem dazu verwendet werden, verschiedene Darstellungen des Zerfällungskörpers zu gewinnen:

  •  , dies folgt – ganz ohne Galoistheorie – aus seiner Definition als Zerfällungskörper.
  •  : Dass zwei Nullstellen zur Erzeugung genügen, folgt aus der Tatsache, dass zwischen den Körpern, die durch eine Nullstelle erzeugt werden und   keine weiteren Körper liegen.
  •  : Hier wird die (in diesem Fall einzige maximale) Subnormalreihe der Galoisgruppe nachgebildet (in der Graphik der Pfad rechts außen). Die relativen Erweiterungen in   sind alle galoissch und ihre Galoisgruppen sind einfache abelsche Gruppen.
  •   lässt sich auch als einfache Körpererweiterung darstellen:   ist sicher ein Element von   und wird von keinem nichttrivialen Element der Galoisgruppe fixiert. Daher ist  .

Natürlich können in allen genannten Darstellungen die Nullstellen   beliebig ausgetauscht werden.

LiteraturBearbeiten