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Graph einer zyklischen Permutation der Zahlen von 1 bis 8

Eine zyklische Permutation, kurz Zyklus (von griechisch κύκλος ‚Kreis‘), ist in der Kombinatorik und der Gruppentheorie eine Permutation, die bestimmte Elemente einer Menge im Kreis vertauscht und die übrigen festhält. Das erste Element des Zyklus wird dabei auf das zweite abgebildet, das zweite Element auf das dritte, und so weiter bis hin zum letzten Element, das wieder auf das erste abgebildet wird.

Zyklische Permutationen weisen eine Reihe besonderer Eigenschaften auf. So ist die Verkettung zweier zyklischer Permutationen kommutativ, wenn diese disjunkte Träger besitzen. Die inverse Permutation einer zyklischen Permutation ist immer ebenfalls zyklisch. Weiter ergeben beliebige Potenzen einer zyklischen Permutation, deren Länge eine Primzahl ist, wieder zyklische Permutationen. Die zyklischen Permutationen fester Länge bilden zudem Konjugationsklassen der symmetrischen Gruppe aller Permutationen.

Jede zyklische Permutation kann in einzelne Transpositionen zerlegt werden und weist daher genau dann ein gerades Vorzeichen auf, wenn ihre Länge ungerade ist. Jede Permutation kann wiederum als Verkettung paarweise disjunkter Zyklen geschrieben werden, was in der Zyklenschreibweise von Permutationen genutzt wird. Die Ordnung einer Permutation entspricht dann dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Längen dieser Zyklen. Zyklische Permutationen mit großer Zyklenlänge spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Pseudozufallszahlengeneratoren.

DefinitionBearbeiten

Ist   die symmetrische Gruppe aller Permutationen der Menge  , dann heißt eine Permutation   zyklisch mit der Länge   oder  -Zyklus, wenn sie eine Liste von   paarweise verschiedenen Zahlen   im Kreis vertauscht, das heißt

 ,

und alle anderen Zahlen festhält. Es muss also gelten

    und    

sowie

    für    .

Die Menge   heißt der Träger oder die Bahn von  . Allgemeiner können auch Permutationen beliebiger endlicher Mengen, beispielsweise Alphabete, betrachtet werden, zur Analyse der mathematischen Eigenschaften kann man sich jedoch auf die ersten   natürlichen Zahlen beschränken.

NotationBearbeiten

Neben der obigen Funktionsnotation, bei der die Abbildung   vollständig angegeben wird, kann eine zyklische Permutation auch dadurch notiert werden, dass lediglich die Zahlen, die zyklisch vertauscht werden, als Indizes mittels

 

angegeben werden. Häufig wird eine zyklische Permutation auch in Zyklenschreibweise notiert, indem diese Zahlen ohne Trennzeichen in Klammern gesetzt werden:

 

In beiden Schreibweisen wird davon ausgegangen, dass die Gesamtzahl   der Zahlen bekannt ist. Die Index- und Zyklenschreibweisen sind allerdings nicht eindeutig, denn die Startzahl kann innerhalb des Zyklus beliebig gewählt werden. Jeder  -Zyklus kann so auf   verschiedene Weisen

 

oder

 

beschrieben werden. Oft gesetzte Konvention ist aber, für   die kleinste oder die größte Zahl des Zyklus zu wählen.

BeispieleBearbeiten

Zyklische Permutationen in S4
Länge Zyklische Permutationen Anzahl
1 id 1
2 (1 2), (1 3), (1 4),
(2 3), (2 4), (3 4)
6
3 (1 2 3), (1 2 4), (1 3 2), (1 3 4),
(1 4 2), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)
8
4 (1 2 3 4), (1 2 4 3), (1 3 2 4),
(1 3 4 2), (1 4 2 3), (1 4 3 2)
6

Eine einfache zyklische Permutation der Länge drei ist

 .

Hierbei wird die Zahl   auf die Zahl  , die Zahl   auf die Zahl   und die Zahl   wieder auf die Zahl   abgebildet. Die Permutation

 

ist eine zyklische Permutation der Länge zwei, bei der die Zahlen   und   vertauscht werden und die Zahlen   und   festgehalten werden. Jede zyklische Permutation der Länge eins

 

entspricht gerade der identischen Permutation  , die alle Zahlen unverändert lässt. In der symmetrischen Gruppe   finden sich die in der nebenstehenden Tabelle aufgeführten zyklischen Permutationen. Von den   Permutationen in   sind demnach nur drei Permutationen nichtzyklisch, nämlich diejenigen, die jeweils zwei Paare von Zahlen vertauschen.

SpezialfälleBearbeiten

Bei zyklischen Permutationen werden folgende Spezialfälle betrachtet:

Vertauschung oder Transposition
Eine zyklische Permutation, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht, also
    für    .
Nachbarvertauschung oder Nachbartransposition
Eine zyklische Permutation, die zwei aufeinander folgende Elemente miteinander vertauscht, also
    für    .
Zyklischer Rechtsshift
Eine zyklische Permutation, die alle Elemente der Reihe nach aufsteigend im Kreis vertauscht, also
 .
Zyklischer Linksshift
Eine zyklische Permutation, die alle Elemente der Reihe nach absteigend im Kreis vertauscht, also
 .

EigenschaftenBearbeiten

AnzahlBearbeiten

Anzahl der k-Zyklen in Sn
  1 2 3 4 5 6 Summe
1 1 1
2 1 1 2
3 1 3 2 6
4 1 6 8 6 21
5 1 10 20 30 24 85
6 1 15 40 90 144 120 410

In der Menge der   verschiedenen Permutationen der Zahlen   gibt es genau   viele  -Zyklen. Jeder Permutation in Tupelschreibweise   entspricht nämlich ein  -Zyklus  , der wiederum auf   verschiedene Weisen geschrieben werden kann. Bezeichnet nun allgemein   die Menge der  -Zyklen in  , dann gilt für  

     (Folge A111492 in OEIS),

denn es gibt   Möglichkeiten,   von   Zahlen auszuwählen. Für die Gesamtmenge   aller zyklischen Permutationen in   inklusive der identischen Permutation gilt damit:

     (Folge A121726 in OEIS)

KommutativitätBearbeiten

Im Allgemeinen ist die Hintereinanderausführung zweier zyklischer Permutationen nicht kommutativ. Besitzen allerdings zwei zyklische Permutationen   und   disjunkte Träger, gilt also

 ,

dann lässt sich ihre Reihenfolge bei der Hintereinanderausführung vertauschen, das heißt, es gilt

 .

Zyklische Permutationen mit disjunkten Trägern werden auch disjunkte Zyklen genannt.

Abgeschlossenheit und InverseBearbeiten

Die Hintereinanderausführung zweier zyklischer Permutationen ist nicht notwendigerweise wieder zyklisch, wie das Beispiel

 

zeigt. Daher bildet die Menge der zyklischen Permutationen   für   keine Untergruppe der symmetrischen Gruppe  . Allerdings ist die inverse Permutation einer zyklischen Permutation   stets ebenfalls eine zyklische Permutation, nämlich diejenige, die die Zahlen   in umgekehrter Reihenfolge zyklisch vertauscht, also

 .

Die inverse Permutation einer Transposition ist damit wieder die gleiche Transposition.

PotenzenBearbeiten

Wird eine zyklische Permutation zweimal hintereinander angewandt, so verschieben sich alle Indizes zyklisch um  , das heißt   wird auf   abgebildet,   auf   und so weiter bis hin zu   auf   und   auf  . Allgemein verschieben sich durch die  -malige Anwendung einer zyklischen Permutation alle Indizes zyklisch um  . Die  -te Potenz einer zyklischen Permutation der Länge   ist genau dann selbst wieder zyklisch, wenn   und   teilerfremd sind. Speziell ergibt die  -malige Anwendung einer zyklischen Permutation   die identische Permutation, also

 ,

und die  -malige Anwendung ergibt wieder die Ausgangspermutation, also

 .

Daher bildet die Menge

 

mit der Hintereinanderausführung eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe  , wobei   das inverse Element zu   ist. Diese Untergruppe ist isomorph zur zyklischen Gruppe   und besteht genau dann ausschließlich aus zyklischen Permutationen, wenn   eine Primzahl ist.

KonjugationBearbeiten

Für eine zyklische Permutation

 

berechnet sich die Konjugation mit einer beliebigen Permutation   zu

 ,

sie ergibt also wiederum einen  -Zyklus. Die Menge   bildet dabei für jedes   eine Konjugationsklasse der Gruppe  . Allgemein sind zwei Permutationen   genau dann zueinander konjugiert, wenn ihr Zykeltyp übereinstimmt.

ZerlegungenBearbeiten

Zerlegung von Zyklen in TeilzyklenBearbeiten

Jede zyklische Permutation der Länge   lässt sich an einer beliebigen Stelle   mittels

 

in zwei Teilzyklen zerlegen. Wendet man diese Zerlegung wiederholt mit   an, ergibt sich, dass jede zyklische Permutation der Länge   mittels

 

als Verkettung von   Transpositionen geschrieben werden kann. Für das Vorzeichen einer zyklischen Permutation der Länge   gilt damit

 ,

da Transpositionen immer ein ungerades Vorzeichen haben. Eine zyklische Permutation ist also genau dann gerade, wenn ihre Länge ungerade ist.

BeispielBearbeiten

Die zyklische Permutation   der Länge vier lässt sich durch

 

in drei Transpositionen zerlegen und ist demnach ungerade.

Zerlegung von Permutationen in ZyklenBearbeiten

 
Graph einer Permutation der Zahlen von 1 bis 7, die in drei disjunkte Zyklen zerfällt

Jede Permutation   lässt sich eindeutig (bis auf Vertauschung der Faktoren) als Verkettung von   paarweise disjunkten Zyklen darstellen. Das heißt, es gilt

 

mit paarweise disjunkten Trägern   für  , wobei   ist. Die Stirling-Zahlen erster Art   geben dabei an, wie viele Permutationen in   als Verkettung von genau   zyklischen Permutationen geschrieben werden können. Die Ordnung einer Permutation entspricht der Ordnung der zugehörigen zyklischen Gruppe und ist damit das kleinste gemeinsame Vielfache der Längen   dieser Zyklen. Weiter ergibt sich das Vorzeichen einer Permutation aus der Zahl der Zyklen gerader Länge.

BeispielBearbeiten

Die Permutation

 

zerfällt in die drei disjunkten Zyklen

 

und hat damit die Ordnung  . Da nur einer der drei Zyklen eine gerade Länge hat, ist die Permutation ungerade.

AnwendungenBearbeiten

Zyklische Permutationen mit großer Zyklenlänge spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Pseudozufallszahlengeneratoren. Die maximale Periode eines solchen Zufallszahlengenerators entspricht der Anzahl der möglichen Zustände des Generators. Bei einfachen rekursiven Generatoren der Form

 

mit   ist die Zahl der möglichen Zustände gerade  . Die Periode eines solchen Generators ist genau dann maximal, wenn die Funktion   eine zyklische Permutation der Länge   der Menge   darstellt. Im Fall von linearen Kongruenzgeneratoren der Art

 

liefert der Satz von Knuth hinreichende und notwendige Bedingungen an die Parameter   und   für die Maximalität der Periodenlänge.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten