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Beispiel eines Splines mit 8 Knoten
Geflecht: Die Querstreben verhalten sich theoretisch wie Splines

Ein Spline n-ten Grades (auch Polynomzug) ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen höchstens n-ten Grades zusammengesetzt ist. Dabei werden an den Stellen, an denen zwei Polynomstücke zusammenstoßen (man spricht auch von Knoten), bestimmte Bedingungen gestellt, etwa dass der Spline (n-1)-mal stetig differenzierbar ist.

Handelt es sich bei dem Spline in all seinen Abschnitten um jeweils eine lineare Funktion, so nennt man den Spline linear (es handelt sich dann um einen Polygonzug), analog gibt es quadratische, kubische usw. Splines.

Zu den Pionieren der Splineerforschung gehören Isaac Jacob Schoenberg (ab den 1940er Jahren), Paul de Faget de Casteljau, Pierre Bézier und Carl de Boor.

Inhaltsverzeichnis

AllgemeinesBearbeiten

Der Begriff Spline wurde zuerst in einer englischen Veröffentlichung von Isaac Jacob Schoenberg im Jahr 1946 für glatte, harmonische, zusammengesetzte mathematische Kurven dritten Grades benutzt.

Splines werden vor allem zur Interpolation und Approximation benutzt. Durch die stückweise Definition sind Splines flexibler als Polynome und dennoch relativ einfach und glatt. Dadurch ergeben sich bei der Spline-Interpolation nicht die Nachteile, die durch die starke Oszillation von Polynomen höheren Grades und deren Unbeschränktheit bei der Polynominterpolation entstehen (Runges Phänomen). Splines lassen sich auch gut benutzen, um Kurven darzustellen. Hier finden sie Einsatz im CAD. Mathematisch analog lassen sich auf beide Weisen nicht nur Kurven, sondern auch Flächen beschreiben.

Wortherkunft: Der Begriff stammt aus dem Schiffbau: eine lange dünne Latte (Straklatte, englisch spline), die an einzelnen Punkten durch Molche fixiert wird, biegt sich genau wie ein kubischer Spline mit natürlicher Randbedingung. Dabei wird die Spannungsenergie minimal.

Spline-RaumBearbeiten

Funktionen  , die sich in jedem der Teilintervalle   einer streng wachsenden Knotenfolge   als Polynome mit Maximalgrad   darstellen lassen, heißen stückweise Polynomfunktionen auf   (mit Maximalgrad  ).

Außer diesem einfachen Aufbau aus Polynomabschnitten verlangt man bei Splines auch noch maximale Glattheit.

Der Spline-Raum   ist der Vektorraum aller  -mal stetig differenzierbaren stückweisen Polynomfunktionen auf   mit Maximalgrad  .

Bei der Konstruktion von Splines erweisen sich die abgeschnittenen Potenzfunktionen

 

mit   als nützlich.   ist für   die Sprungfunktion, für   die Rampenfunktion und für   ist diese Funktion  -mal stetig differenzierbar.

Jede stückweise Polynomfunktion auf   mit Maximalgrad   ist mit eindeutig bestimmten Koeffizienten  ,   in der Form

 

darstellbar. Da Splines  -mal stetig differenzierbar sein sollen, müssen bei ihnen die Koeffizienten   für die niedrigeren Potenzen  , die die Differenzierbarkeitsforderung nicht erfüllen, an den inneren Knoten   verschwinden. Splines   haben also die Darstellung

 

Die (auf   eingeschränkten) Funktionen   für   und   für   stellen also zusammen eine Basis für den Splineraum   dar. Damit ist der Splineraum  -dimensional.

Die  -malige Differenzierbarkeit der Splines kann man gezielt an vorgegebenen Knotenpunkten wieder abschwächen. In obiger Darstellung erreicht man das durch Wiederhinzunehmen ausgewählter Basisfunktionen niedrigeren Grades an inneren Knoten. Beim Algorithmus von De-Boor zur Darstellung von Splines ergibt sich das automatisch, wenn man mehrfache Knoten in der Knotensequenz zulässt, genauer die Forderung   für   abschwächt zu   für   und   für  .

Die in Mathematik und Technik genutzten Varianten der Splines, wie B-Splines oder kubische Splines, unterscheiden sich im Wesentlichen durch die für den Splineraum eingesetzte Basis.

Grad und OrdnungBearbeiten

Spline-Kurven werden in der Regel entweder, wie oben beschrieben, über den Grad der stückweise zusammengesetzten Polynome definiert oder über deren Ordnung. Hierbei werden für den Grad meist die Buchstaben   oder   verwendet, während es üblich ist, für die Ordnung den Buchstaben   zu verwenden. Hierbei gilt der Zusammenhang:

 

Kubische SplinesBearbeiten

Kubische Splines werden unter anderem zur Berechnung des Bahnverlaufes bei Achterbahnen verwendet, um ruckartige Beschleunigungswechsel für die Fahrgäste zu vermeiden. Kubische Splines finden weitere Anwendung bei der exakten Verlegung der Schienen bei Hochgeschwindigkeitsstrecken der Eisenbahn. Auch beim Entwurf von Kurven und Oberflächen (sogenannte „Freiformkurven und -flächen“), wie sie häufig im Schiff-, Flugzeug- und Automobilbau vorkommen, sind Splines von Bedeutung.

Splines eignen sich für solche Anwendungen, weil für jeden Polynomabschnitt Randbedingungen sowohl in Form von Punkten als auch in Form von Werten für die erste und zweite Ableitung (und in Abhängigkeit davon Steigung und Krümmung/Kurvenradius) vorgegeben werden können. Dadurch kann eine über den gesamten Kurvenverlauf stetige Krümmung erreicht werden. So werden Querbeschleunigungen beim Abfahren der Kurve immer allmählich aufgebaut bzw. an den Knotenpunkten vorgegebene Werte eingehalten.

Burmester-Schablonen stellen kubische Splines dar. Diese Schablonen werden genutzt, um Ausgleichskurven von Wertescharen zu zeichnen.

B-SplinesBearbeiten

B-Spline ist die Kurzform von Basis-Spline. Im Kontext numerischer Verfahren, wo Splines häufig eingesetzt werden, entscheidet die Wahl der Basis für den Spline-Raum über eventuelle Rundungsfehler und damit über die praktische Einsetzbarkeit. Eine bestimmte Basis hat sich hier als am besten geeignet herausgestellt: sie ist numerisch stabil und erlaubt die Berechnung von Werten der Spline-Funktion mittels einer Drei-Term-Rekursion. Diese so genannten B-Spline-Basisfunktionen haben einen kompakten Träger, sie sind nur auf einem kleinen Intervall von Null verschieden. Änderungen der Koeffizienten wirken sich also nur lokal aus.

Carl de Boor weist in seinem Artikel[1] B(asic) Spline Basics darauf hin, dass der Begriff B-Spline ursprünglich für bestimmte Splines mit minimalem Träger eingeführt wurde, dass sich jedoch im Bereich von Computer Aided Geometric Design die etwas unglückliche Verwendung des Begriffs B-Spline für Splines eingebürgert hat, die in der B-Splinebasis dargestellt werden.

DefinitionBearbeiten

Die als Basis-Splines (B-Splines) bezeichneten Basisfunktionen   des Grads   mit Knotenvektor   sind von Curry und Schoenberg 1947 bis auf die Normierung in folgender Form eingeführt worden:[2]

 

Dabei steht   für die  -ste dividierte Differenz der abgeschnittenen Potenzfunktion   bzgl.  . Die dividierte Differenz   ist der zu   gehörige Koeffizient im (eindeutig gegebenen) Polynom  , das die Funktion   an den Stellen   interpoliert. Stimmen die Werte von   der Variablen   überein, so interpoliert das Polynom die Funktion   an dieser Stelle bis zur  -ten Ableitung (oskulierende Interpolation, engl.: `osculating interpolation').

In obiger Definition von   gilt   für   solange   kleiner   bleibt. In diesem Bereich für   ergibt sich also eine dividierte Differenz vom Grad   für ein Polynom  -ten Grades, die trivialerweise null ist. Auf der anderen Seite ist für   die Funktion   an allen für die dividierte Differenz auszuwertenden Stellen bei   gleich null, womit dort ebenfalls   gilt.

Der Träger von   liegt also innerhalb des Intervalls  .

Sind die Stellen   alle voneinander verschieden, so ist die dividierte Differenz in   eine endliche Linearkombination von Funktionen   mit verschiedenen Werten für   und als solche  -mal stetig differenzierbar.

EigenschaftenBearbeiten

Die folgenden Eigenschaften zeichnen die B-Splines   mit   im Raum der Splines   mit Knotenvektor   und Maximalgrad   aus:

  • Nicht-Negativität:  
  • Lokaler Träger:   falls   und   falls  
  • Zerlegung der Eins:   für  

Effiziente BerechnungBearbeiten

Die Basis-Splines können effektiv mit der Rekursionsformel von de Boor/Cox/Mansfield berechnet werden:[3]

 

und

  für  .

Die Elemente des Knotenvektors heißen auch Knotenpunkte (engl. knots) und müssen die Bedingungen   und   erfüllen.

Zur Berechnung der Ableitung[4] eines B-Splines kann man obige Rekursionsformel mit der folgenden Vorschrift kombinieren:

  für  .

Bemerkung:

Die Bedingungen an die Knotenpunkte   erlauben es, dass in der Rekursionsformel unter Umständen 0 als Nenner auftritt (nämlich wenn   bzw.   gilt). Allerdings ist dann die Funktion   bzw.   automatisch die Nullfunktion. Auf die entsprechende Fallunterscheidung wird hier verzichtet, man ignoriere die entsprechenden Summanden in diesen Fällen (ersetze sie durch 0). Dies entspricht auch dem Grenzverhalten für z. B.  

B-Spline-KurveBearbeiten

Eine Spline-Kurve, deren Darstellung auf B-Splines beruht, nennt man B-Spline-Kurve. Bestimmt wird die Kurve durch so genannte De-Boor-Punkte, mit denen sich das Aussehen der Kurve leicht steuern lässt: Die Kurve liegt immer in der konvexen Hülle der De-Boor-Punkte, wird also von ihnen eingeschlossen.

Eine B-Spline-Kurve   des Maximalgrads   mit Knotenvektor   (s. o.) und Kontrollpunkten   (auch De-Boor-Punkte genannt) wird definiert durch

 .

Für Kurven in der Ebene sind die Kontrollpunkte 2-dimensional, für Kurven im Raum 3-dimensional.

Eigenschaften:

  • Lokalität: Der Kontrollpunkt   beeinflusst die Kurve nur im Intervall  
  • Endpunkt-Interpolation: Es ist  , falls die ersten   Knotenpunkte   gleich sind und  , falls die letzten   Knotenpunkte   gleich sind.

Eine ähnliche Darstellung haben Bézierkurven. Diese basieren nicht auf der oben genannten Basis, sondern auf den Bernsteinpolynomen. Genau wie bei B-Spline-Kurven die De-Boor-Punkte gibt es hier die Bézier-Punkte, die das so genannte Kontrollpolygon bilden und mit denen man die Kurve leicht graphisch darstellen kann.

Algorithmus von De BoorBearbeiten

Statt der Gleichung in obiger Definition für   wird zur effizienten Berechnung von B-Spline-Kurven   mit   im Intervall   meist der im Folgenden beschriebene Algorithmus von De Boor verwendet.

1. Suche  , so dass   gilt.
   Gibt es keinen solchen Index  , so liegt   außerhalb des Definitionsbereiches der Splinekurve  
   und es muss extrapoliert oder eine Fehlermeldung ausgegeben werden.
2. Initialisiere Hilfsgrößen   für  
3. Führe für   und   folgende Teilschritte 3.1 bis 3.3 iterativ aus:
3.1. Im Ausnahmefall gleicher Knoten   setze   und fahre mit dem nächsten Iterationsschritt   bei 3.1. fort.
3.2. Gilt dagegen  , so berechne  .
3.3. Berechne damit  .
4. Als Endergebnis der Iteration erhält man  .

Sind mehrere Splines, die sich nur durch die Koeffizienten   unterscheiden, an derselben Stelle   auszuwerten, so kann die in der Definition der B-Spline-Kurve aufgeführte Berechnungsvorschrift   effizienter als der Algorithmus von De Boor sein.

B-Spline-FlächeBearbeiten

Eine B-Spline-Fläche der Maximalgrade   und   in der ersten beziehungsweise zweiten Variablen mit Knotenvektoren   und   und Kontrollpunkten (bzw. De Boor Punkten)   wird definiert durch

 

Die Fläche ist definiert über dem Rechteck  .

Eigenschaften:

  • Lokalität: Der Kontrollpunkt   beeinflusst die Fläche nur im Rechteck  
  • Endpunktinterpolation: Werden die ersten   Knotenpunkte in   auf den gleichen Wert gesetzt, die letzten   Knotenpunkte in   auf den gleichen Wert gesetzt, die ersten   Knotenpunkte in   auf den gleichen Wert gesetzt und die letzten   Knotenpunkte in   auf den gleichen Wert gesetzt, dann gilt die Endpunktinterpolation, d. h.  ,  ,   und  

Weitere Varianten und VerallgemeinerungenBearbeiten

Neben den B-Splines gibt es weitere Varianten von Splines, beispielsweise den kubisch hermiteschen Spline. Eine Verallgemeinerung von Splines sind NURBS, die durch stückweise rationale Funktionen anstelle von Polynomen beschrieben werden. Mit NURBS-Kurven sind Kreise exakt darstellbar.

LiteraturBearbeiten

  • Carl de Boor: A Practical Guide to Splines. Springer Verlag, New York 1978, ISBN 0-387-90356-9 und ISBN 3-540-90356-9 (Rev. Aufl. von 2001 ISBN 0-387-95366-3)
  • Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002 ISBN 1-55860-737-4
  • Günther Nürnberger: Approximation by Spline Functions. Springer Verlag, 1989, ISBN 3-540-51618-2 und ISBN 0-387-51618-2
  • Hartmut Prautzsch, Wolfgang Böhm, Marco Paluszny: Bezier and B-Spline Techniques. Springer Verlag, Berlin 2001 ISBN 3-540-43761-4
  • David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. 2006 Springer Science+Business Media, Inc.; ISBN 0-387-24196-5
  • Isaac Jacob Schoenberg: Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart. Appl. Math., vol. 4, S. 45–99 und 112–141, 1946.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. De Boor C. (1993): B(asic)–spline basics. In: Piegl L. (ed.): Fundamental Developments of Computer-Aided Geometric Modelling. Academic Press, San Diego, 27–49.
  2. Carl de Boor: A Practical Guide to Splines. Springer Verlag Berlin, 2001
  3. http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/B-spline/bspline-basis.html
  4. http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/spline/B-spline/bspline-derv.html