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Interpolation (Mathematik)

mathematisches Verfahren zur Bestimmung einer stetigen Funktion basierend auf diskreten Daten

In der numerischen Mathematik bezeichnet der Begriff Interpolation (aus lateinisch inter = dazwischen und polire = glätten, schleifen) eine Klasse von Problemen und Verfahren. Zu gegebenen diskreten Daten (z. B. Messwerten) soll eine stetige Funktion (die sogenannte Interpolante oder Interpolierende) gefunden werden, die diese Daten abbildet. Man sagt dann, die Funktion interpoliert die Daten.

Inhaltsverzeichnis

EinführungBearbeiten

 
Zu interpolierende Punkte

Manchmal sind von einer Funktion nur einzelne Punkte bekannt, aber keine analytische Beschreibung der Funktion, durch die sie an beliebigen Stellen ausgewertet werden könnte. Ein Beispiel sind Punkte als Resultat einer physikalischen Messung. Könnte man die Punkte durch eine (eventuell glatte) Kurve verbinden, so wäre es möglich, die unbekannte Funktion an den dazwischenliegenden Stellen zu schätzen. In anderen Fällen soll eine schwierig handhabbare Funktion näherungsweise durch eine einfachere dargestellt werden. Eine Interpolationsfunktion kann diese Anforderung der Einfachheit erfüllen. Diese Aufgabe bezeichnet man als Interpolationsproblem. Es gibt für das Problem mehrere Lösungen, der Anwender muss zunächst geeignete Ansatzfunktionen wählen. Je nach Ansatzfunktionen erhalten wir eine andere Interpolante.

Die Interpolation ist eine Art der Approximation: Die betrachtete Funktion wird durch die Interpolationsfunktion in den Stützstellen exakt wiedergegeben und in den restlichen Punkten immerhin näherungsweise. Die Approximationsgüte hängt vom Ansatz ab. Um sie zu schätzen, werden Zusatzinformationen über die Funktion   benötigt. Diese ergeben sich auch bei Unkenntnis von   meist in natürlicher Weise: Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit lassen sich häufig voraussetzen.

Bei anderen Approximationsverfahren wie der Ausgleichungsrechnung wird nicht gefordert, dass die Messdaten exakt wiedergegeben werden. Dadurch unterscheiden sich diese Verfahren von der Interpolation. Bei dem verwandten Problem der Extrapolation werden Werte geschätzt, die über den Definitionsbereich der Daten hinausgehen.

InterpolationsproblemeBearbeiten

Das allgemeine InterpolationsproblemBearbeiten

Gegeben seien   Paare von reellen oder komplexen Zahlen  . Hierbei bezeichnet man analog zum Rechnen mit Funktionen die   als Stützstellen, die   als Stützwerte und die   Paare als Stützpunkte. Man wählt nun eine Ansatzfunktion  , die sowohl von   als auch von   weiteren Parametern   abhängt. Als Interpolationsproblem bezeichnet man die Aufgabe, die   so zu wählen, dass   ist.

Das lineare InterpolationsproblemBearbeiten

Man spricht von einem linearen Interpolationsproblem, wenn   nur linear von den   abhängt, d. h.

 .

Insbesondere die Polynominterpolation ist ein solches lineares Interpolationsproblem. Für die Polynominterpolation gilt

 .

Spezialfälle für  ,   und   nennt man lineare, quadratische und kubische Interpolation. In zwei Dimensionen spricht man entsprechend von bilinear, biquadratisch und bikubisch.

Des Weiteren ist die trigonometrische Interpolation eine lineare Interpolation:

 

Nichtlineare InterpolationsproblemeBearbeiten

Zu den wichtigsten nichtlinearen Interpolationsproblemen zählt

  • das rationale:  

InterpolationsverfahrenBearbeiten

Lineare InterpolationBearbeiten

 
Stückweise durchgeführte lineare Interpolation

Die von Isaac Newton begründete lineare Interpolation ist am einfachsten und wird wohl in der Praxis am häufigsten benutzt. Hier werden zwei gegebene Datenpunkte ( ) und ( ) durch eine Strecke verbunden. Es gilt:

 

Dies entspricht einer Konvexkombination der Endpunkte   und  .

Detaillierte Erläuterungen siehe Allgemeine lineare Interpolation.

Höhergradige PolynomeBearbeiten

 
Interpolationspolynom 7. Grades

Zu   paarweise verschiedenen Datenpunkten gibt es genau ein Interpolationspolynom  -ten Grades, das an den vorgegebenen Stützstellen mit den vorgegebenen Stützwerten übereinstimmt. Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Die Existenz eines solchen Interpolationspolynoms sieht man z. B. mit Hilfe der Formel von Lagrange

 .

Die Eindeutigkeit folgt aus der bekannten Tatsache, dass ein Polynom  -ten Grades höchstens   Nullstellen besitzt.

Weitere Verfahren zur Polynominterpolation siehe dort.

Stückweise InterpolationBearbeiten

 
Kubische Spline-Interpolation

Da Polynome mit zunehmendem Grad immer instabiler werden, d. h. stark zwischen den Interpolationspunkten schwingen, werden in der Praxis Polynome mit einem Grad größer als 5 kaum eingesetzt. Stattdessen interpoliert man einen großen Datensatz stückweise. Im Fall der linearen Interpolation wäre das ein Polygonzug, bei Polynomen vom Grad 2 oder 3 spricht man üblicherweise von Spline-Interpolation. Bei abschnittsweise definierten Interpolanten ist die Frage der Stetigkeit und Differenzierbarkeit an den Stützstellen von großer Bedeutung.

HermiteinterpolationBearbeiten

Sind zusätzlich zu den Stützstellen   auch noch die  -Ableitungen   zu interpolieren, so spricht man von einem Hermite-Interpolationsproblem. Die Lösung dieses Problems lässt sich analog zum Lagrange-Verfahren ebenfalls in geschlossener Form angeben.

Trigonometrische InterpolationBearbeiten

Wählt man als Ansatzfunktion ein trigonometrisches Polynom, so erhält man eine trigonometrische Interpolation. Die Interpolationsformel

 

entspricht einer Fourier-Entwicklung der unbekannten Interpolanten. Die Fourier-Koeffizienten   und   berechnen sich zu

  und  .

Dabei wird angenommen, dass die Stützstellen   im Intervall   äquidistant verteilt sowie außerhalb dieses Intervalls periodisch sind. Die Koeffizienten können effizient mit Hilfe der schnellen Fourier-Transformation berechnet werden.

Logarithmische InterpolationBearbeiten

Vermutet bzw. weiß man, dass den Daten eine logarithmische Funktion zugrunde liegt, so empfiehlt sich dieses Verfahren.

Bei der logarithmischen Interpolation werden zwei bekannte Datenpunkte   und   durch eine logarithmische Kurve verbunden. Es gilt:

 

Oder anders formuliert:

 

Beispiel: χ²-Test

Gaußprozess-Regression (Kriging)Bearbeiten

 
Gaußprozess-Interpolation (blau) und geschätztes Vertrauensintervall (grau) einer Lücke zwischen zwei Kurven (schwarz) von sehr gemischten Eigenschaften.

Ein sehr vielseitiges und universelles Interpolationsverfahren ist die Gaußprozess-Regression bzw. das Kriging-Verfahren. Damit können sowohl glatte, wie auch periodische Interpolationen oder Glättungen in beliebigen Dimensionen durchgeführt werden. Mithilfe einer sogenannten Kovarianzfunktion können die speziellen Eigenschaften der Daten beschrieben werden, um die für das Problem optimale Interpolation durchzuführen.

Eigenschaften der Interpolationsmethode:

  • Geeignet für unregelmäßige Stützstellen
  • Interpolation in beliebigen Dimensionen (z. B. Flächen-Interpolation)
  • Optimale Interpolation von glatten, periodischen oder verrauschten Kurven
  • Vorhersage des Vertrauensintervals der Interpolation

Allgemeine lineare InterpolationBearbeiten

Es sei   eine reelle oder komplexe stetig differenzierbare Funktion mit Nullstellenmenge  , wobei alle Nullstellen einfach sein müssen. Dabei kann die Indexmenge   eine endliche Menge, wie z. B.  , oder eine abzählbare Menge, wie   oder  , sein. Damit sind die Interpolationskerne gegeben als

  bei  

und stetig mit dem Wert 1 an der Stelle   fortgesetzt. Die Hilfsfunktion   ist außerhalb der Diagonalen   definiert als

  und stetig fortgesetzt zu  .

Auf den Nullstellen gilt  , wobei das Kronecker-Delta verwendet wurde.

Sind jetzt Werte   für jedes   vorgegeben, so ist eine Interpolationsfunktion definiert durch

 .

Im Falle einer abzählbaren Nullstellenmenge muss die Konvergenzbedingung

 

erfüllt sein.

BeispieleBearbeiten

  • Mit vorgegebenen Stützstellen   und einer reellen Funktion   mit  ,   kann die Funktion   gebildet werden. Dann erhält man
 .
Das aus   resultierende Interpolationsverfahren ist die Lagrange-Interpolation. Andere Beispiele sind   für nach Unendlich gegen Null fallende Interpolationsfunktionen oder   für eine beschränkte Interpolationsfunktion mit übersichtlicher Berechnungsformel.
  • Mit dem Kreisteilungspolynom  , d. h. den  -ten Einheitswurzeln  ,  , als Stützstellen, ergibt sich die Diskrete Fourier-Transformation als Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten des Interpolationspolynoms. Es gilt   und allgemein  , so dass
  ist.
  • Mit   und den Nullstellen  ,  , ergibt sich als Interpolationsfunktion die Kardinalreihe
 .

Diese spielt eine zentrale Rolle im Nyquist-Shannon-Abtasttheorem. Die Konvergenzbedingung lautet

 .

Stützstellendarstellung von PolynomenBearbeiten

Sei   ein Polynom. Dieses Polynom lässt sich in der sogenannten Koeffizientendarstellung durch die Angabe des Vektors   darstellen. Eine alternative Darstellung, die ohne die Koeffizienten   auskommt, besteht in der Stützstellendarstellung. Dabei wird das Polynom für   Werte   mit   und   ausgewertet, d. h. es werden die Funktionswerte   berechnet. Das Paar von Vektoren   bezeichnet man als die Stützstellendarstellung des Polynoms  . Ein wesentlicher Vorteil dieser Darstellung besteht darin, dass zwei Polynome in Stützstellendarstellung in   (s. Landau-Symbole) Schritten multipliziert werden können. In Koeffizientendarstellung werden hingegen   Schritte benötigt. Die Transformation von der Koeffizienten- in die Stützstellendarstellung ist daher von spezieller Bedeutung und wird als Fourier-Transformation bezeichnet. Die Rücktransformation wird durch Interpolation erreicht.

AnwendungenBearbeiten

 
Interpolation bei der Skalierung eines Bildes

In vielen Anwendungen von Interpolationsverfahren wird behauptet, dass durch Interpolation neue Information aus bestehenden Daten hinzugewonnen werden. Dies ist aber falsch. Durch Interpolation kann nur der Verlauf einer kontinuierlichen Funktion zwischen bekannten Abtastpunkten abgeschätzt werden. Diese Abschätzung basiert meist auf der Annahme, dass der Verlauf einigermaßen „glatt“ ist, was in den meisten Fällen zu plausiblen Resultaten führt. Die Annahme muss aber nicht notwendigerweise zutreffen. Höhere Frequenzanteile, die bei der Digitalisierung eines Signals aufgrund des Abtasttheorems verloren gegangen sind, können auch durch anschließende Interpolation nicht wieder rekonstruiert werden.

Eine bekannte Anwendung der Interpolation ist die digitale Signalverarbeitung. Bei der Umwandlung eines Signals von einer niedrigen Abtastrate in eine hohe (siehe Abtastratenkonvertierung) werden die Abtastwerte des Ausgabesignals aus denen des Eingabesignals interpoliert. Ein Spezialfall ist die Skalierung von Bildern in der Computergrafik.

LiteraturBearbeiten

  • Josef Stoer: Numerische Mathematik 1. 8. Auflage, Springer 1999.
  • Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 4. Auflage, Springer 1997.
  • Oppenheim, Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Oldenbourg 1992.
  • Crochiere, Rabiner: Multirate Digital Signal Processing. Prentice Hall 1983.

WeblinksBearbeiten