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Die Parabel ist einer der Kegelschnitte.
Ein hüpfender Ball beschreibt – wenn man Reibungsverluste vernachlässigt – Parabelbögen.
Wasserstrahlen beschreiben ebenfalls Parabeln, wenn man die Reibung vernachlässigt.

In der Mathematik ist eine Parabel (von lateinisch parabola zu altgriechisch παραβολή parabolḗ, deutsch ‚Nebeneinanderstellung, Vergleichung, Gleichnis, Gleichheit‘; zurückzuführen auf παρά pará, deutsch ‚neben‘ und βάλλειν bállein, deutsch ‚werfen‘)[1] eine Kurve zweiter Ordnung und ist daher über eine algebraische Gleichung zweiten Grades beschreibbar. Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten: Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. Aufgrund dieser sehr speziellen Schnittvorausetzung spielt die Parabel unter den Kegelschnitten eine besondere Rolle: Sie besitzt nur einen Brennpunkt und alle Parabeln sind zueinander ähnlich.

Die Parabel wurde von Menaichmos entdeckt und von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) als parabolḗ[2] benannt.

Parabeln treten in der Mathematik häufig als Graphen quadratischer Funktionen auf.

Auch im täglichen Leben spielen Parabeln eine Rolle:

  • Die Funktionsweise von Parabolantennen und Parabolspiegeln beruht auf der geometrischen Eigenschaft der Parabel, parallel zu ihrer Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt zu sammeln (siehe weiter unten).
  • Ein schräg nach oben geworfener Stein bewegt sich näherungsweise auf einer parabelförmigen Bahn, der Wurfparabel (s. hüpfender Ball, Springbrunnen). Dies hängt damit zusammen, dass Wurfbewegungen durch quadratische Funktionen beschrieben werden.
  • In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht Schwerelosigkeit. Solche Parabelflüge werden zum Training von Astronauten verwendet.
  • In der Mathematik werden Parabeln häufig zur Approximation komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: ) die einfachsten gekrümmten Funktionsgraphen (Gleichung: ) sind und sich besser als Geraden an gekrümmte Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich (Computer Aided Design) treten Parabeln als Bézierkurven auf. Ein Vorteil der Parabeln gegenüber Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln besteht darin, dass man sie als Funktionsgraph von Polynomfunktionen 2. Grades beschreiben kann.

Inhaltsverzeichnis

Definition mit LeitlinieBearbeiten

 
Parabel: Definition mit Brennpunkt F, Leitlinie l (schwarz) und Halbparameter p (grün). Das Lot Pl und die Strecke PF (jeweils blau) sind für alle Punkte P der Parabel (rot) gleich lang

Eine Parabel kann geometrisch als Ortslinie beschrieben werden:

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte  , deren Abstand   zu einem speziellen festen Punkt – dem Brennpunkt   – gleich dem Abstand   zu einer speziellen Geraden – der Leitlinie   – ist.

Als Punktmenge notiert:

 

Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel oder Scheitelpunkt   der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird auch Achse der Parabel genannt. Sie ist die einzige Symmetrieachse der Parabel.

Führt man Koordinaten so ein, dass   ist und die Leitlinie die Gleichung   besitzt, so ergibt sich für   aus   die Gleichung

 

einer nach oben geöffneten Parabel.

Die halbe Weite   der Parabel in der Höhe des Brennpunktes ergibt sich aus   zu   und heißt (analog zu Ellipse und Hyperbel) der Halbparameter der Parabel. Der Halbparameter   ist wie bei Ellipse (im Hauptscheitel) und Hyperbel der Scheitelkrümmungskreisradius, also der Radius des Krümmungskreises an den Scheitelpunkt. Bei einer Parabel ist   außerdem der Abstand des Brennpunktes zur Leitlinie. Die Gleichung der Parabel lässt sich damit auch in der folgenden Form schreiben:

 

Vertauscht man   und  , so erhält man mit

 

die Gleichung einer nach rechts geöffneten Parabel.

Aufgrund der Definition ist eine Parabel die Äquidistanz-Kurve zu ihrem Brennpunkt und ihrer Leitlinie.

Parabel als Funktions-GraphBearbeiten

 
Parabeln   (Parabelschar)

Eine nach oben oder unten geöffnete Parabel mit Scheitel im Nullpunkt (0,0) und der  -Achse als Achse wird (in kartesischen Koordinaten) durch eine Gleichung

 

beschrieben. Für   sind die Parabeln nach oben geöffnet, für   nach unten (siehe Bild). Dabei gilt:

  • Der Brennpunkt ist  ,
  • der Halbparameter ist  ,
  • die Leitlinie hat die Gleichung   und
  • die Tangente im Punkt   hat die Gleichung  .

Für   erhält man die Normalparabel  . Ihr Brennpunkt ist  , der Halbparameter   und die Leitlinie hat die Gleichung  .

Nach einer Verschiebung   erhält man die Scheitelform einer beliebigen nach oben oder unten geöffneten Parabel:

  mit dem Scheitel  

Durch Ausmultiplizieren ergibt sich die allgemeine Gleichung einer nach unten oder oben geöffneten Parabel:

 

Sie ist der Graph der quadratischen Funktion

 .

Ist die Funktion   gegeben, so findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung:

 

Jede Parabel ist zur Normalparabel y=x² ähnlichBearbeiten

 
Parabel   mit dem Faktor 2 am Ursprung gestreckt, das Ergebnis ist die Parabel  .

In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander übergeführt werden können. Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen, Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

Eine beliebige Parabel   hat einen Scheitel   und kann durch die Verschiebung   und eine geeignete Drehung um den Ursprung so transformiert werden, dass die transformierte Parabel den Ursprung als Scheitel und die  -Achse als Achse besitzt. Also ist die Parabel   zu einer Parabel mit der Gleichung   ähnlich. Durch die zusätzliche zentrische Streckung   wird die Parabel schließlich in die Normalparabel   übergeführt. Also gilt

  • Jede Parabel ist zur Normalparabel ähnlich.

Bemerkungen:

  1. Diese Aussage ist nur für Parabeln richtig und nicht für Ellipsen/Einheitskreis und Hyperbeln/Einheitshyperbel!
  2. Es gibt andere einfache affine Abbildungen, die die Parabel   auf die Normalparabel abbilden. Zum Beispiel  . Aber diese Abbildung ist keine Ähnlichkeitsabbildung!

Parabel als Sonderfall der KegelschnitteBearbeiten

 
Kegelschnittschar mit Scharparameter  

Die Schar der Kegelschnitte, deren Achse die  -Achse ist und die einen Scheitelpunkt im Ursprung (0,0) mit dem Scheitelkrümmungskreisradius   (beliebig, aber fest) haben, lässt sich durch die Gleichung

 

beschreiben.

  • Für   erhält man einen Kreis (Scheitelkrümmungskreis aller Kegelschnitte der Schar),
  • für   eine Ellipse,
  • für   eine Parabel und
  • für   eine Hyperbel (s. Bild).

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet

  a, b, c nicht alle 0.

Um zu erkennen, welcher Kegelschnitt durch eine konkrete Gleichung beschrieben wird, muss man eine Hauptachsentransformation (Drehung und anschließende Verschiebung des Koordinatensystems) durchführen. Siehe hierzu Kegelschnitt.

Parabel als KegelschnittBearbeiten

 
Dandelin-Kugel: Parabel-Fall (Grund- und Aufriss)

Schneidet man einen senkrechten Kreiskegel mit einer Ebene  , deren Neigung gleich der Neigung der Mantellinien des Kegels ist, so ergibt sich eine Parabel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. Brennpunkt und Leitlinie (s. oben) führt man mit Hilfe einer Dandelin’schen Kugel, d. i. eine Kugel, die den Kegel in einem Kreis   und die Parabel-Ebene in einem Punkt   berührt. Es stellt sich heraus, dass   der Brennpunkt der Schnittparabel und die Schnittgerade der Ebene des Berührkreises   mit der Ebene   die Leitlinie   ist.

  1.   sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
  2. Die Strecken   und   sind tangential zur Kugel und damit gleich lang.
  3. Die Ebenen durch die Mantellinie   schneiden die Parabelebene in einer Schar paralleler Geraden, die senkrecht zur Geraden   sind ( !).
  4. Anwendung des Strahlensatzes auf die sich in   schneidenden Geraden   und die parallelen Strecken   liefert die Gleichheit der Länge der Strecken  . (Man beachte:   sind gleich lang!).
  5. Aus der Gleichheit der Länge der Strecken   und   folgt schließlich
 .

Fadenkonstruktion einer ParabelBearbeiten

 
Parabel: Fadenkonstruktion

Die Definition einer Parabel mit Hilfe der Leitlinie bietet eine einfache Möglichkeit mit Hilfe eines Fadens und eines rechten Winkels (hier in T-Form zum Gleiten entlang einer Gerade) einen Parabelbogen zu zeichnen:[3]

(0) Wahl des Brennpunktes   und der Leitlinie   der zu zeichnenden Parabel
(1) Faden der Länge   (in der Zeichnung blau)
(2) Befestigung des einen Fadenendes im Punkt   des Lineals, das andere Ende im Brennpunkt  
(3) Anlegen des Winkels so, dass der eine Schenkel entlang der Leitlinie gleiten kann
(4) Mit einem Stift den Faden so spannen, dass er an der Linealkante anliegt
(5) Durch Verschieben des Lineals entlang der Leitlinie überstreicht der Stift einen Parabelbogen, denn es ist stets   (Leitlinieneigenschaft).

Steiner-Erzeugung einer Parabel und der zu ihr dualen ParabelBearbeiten

ParabelBearbeiten

 
Parabel: Steiner-Erzeugung

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Parabel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten   (alle Geraden durch den Punkt   bzw.  ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung   des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten Kegelschnitt.[4][5]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Parabel   gehen wir von dem Geradenbüschel im Scheitel   und dem Parallelbüschel   der Parallelen zur  -Achse aus (d. i. das Geradenbüschel des Fernpunktes der  -Achse). Seien nun   ein Punkt der Parabel und  ,  . Wir unterteilen die Strecke   in   gleich lange Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung   auf die Strecke   (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung des Büschels in   und des Parallelbüschels  . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden   und der  -ten Parallele zur  -Achse liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Parabel (s. Bild).

Der Beweis ergibt sich durch eine einfache Rechnung. Siehe auch: projektiver Kegelschnitt.

Bemerkung: Die linke Hälfte der Parabel erhält man durch Spiegelung an der  -Achse.

Bemerkung:

  1. Auch für Ellipsen und Hyperbeln gibt es die Steiner-Erzeugung.
  2. Statt des Scheitels der Parabel und der Scheiteltangente kann man auch einen beliebigen Punkt und seine Tangente benutzen.

Duale ParabelBearbeiten

  • Eine duale Parabel besteht aus der Menge der Tangenten einer (gewöhnlichen) Parabel.

Die vorige Steiner-Erzeugung einer Parabel lässt sich dualisieren, d. h., die Bedeutung von Punkten und Geraden wird vertauscht:

  • Hat man für zwei Punktreihen zweier Geraden   eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung   der einen Punktreihe auf die andere, so bilden die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte einen nicht ausgearteten dualen Kegelschnitt (s. Satz von Steiner). Die Geraden   sind auch Tangenten, also Elemente des dualen Kegelschnitts.
 
Duale Parabel und Bezierkurve vom Grad 2 (rechts: Kurvenpunkt und Teilpunkte   zu  )

In der Praxis

  1. gibt man drei Punkte   vor,
  2. unterteilt sowohl die Strecke   als auch   in   jeweils gleiche Teile und nummeriert sie wie im Bild.
  3. Die Geraden   sind dann die Tangenten einer Parabel (die Elemente einer dualen Parabel).
  4. Die Parabel ist eine Bezierkurve vom Grad 2 mit den Punkten   als Kontrollpunkte.

Beweis:

Sind   die Ortsvektoren der Punkte  , so ist

 

die zugehörige Bezierkurve (Parabel). Die Ableitung (der Tangentenvektor) ist

 

Dabei sind   die zum Parameter   gehörigen Teilpunkte der Strecken   und  . Man rechnet nach, dass   ist. Also ist die Gerade   Tangente im Parabelpunkt  .

Bemerkung: Der Beweis ergibt sich auch aus den ersten zwei Schritten des de-Casteljau-Algorithmus für eine Bezierkurve vom Grad 2.

Parabel als affines Bild der NormalparabelBearbeiten

 
Parabel als affines Bild der Normalparabel

Eine andere Definition der Parabel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist eine Parabel als affines Bild der Normalparabel   definiert. Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form  , wobei   eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und   ein beliebiger Vektor ist. Sind   die Spaltenvektoren der Matrix  , so wird die Normalparabel   auf die Parabel

 

abgebildet.   ist ein Punkt der Parabel und   Tangentenvektor in diesem Punkt.   stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h.,   ist i. A. nicht der Scheitel der Parabel. Aber: Die Parabelachse (Symmetrieachse durch den Scheitel) ist parallel zu  . Diese Definition einer Parabel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Parabel.

Da im Scheitel die Tangente zur Parabelachse senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Parabelpunkt   ist, ergibt sich der Parameter   des Scheitels aus der Gleichung

  zu  .

Die Scheitelform der Parameterdarstellung der Parabel ist

 .

Beispiele:

  1.   liefert die übliche Parameterdarstellung der Parabel  .
     
    Parabel: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 3)
  2.   liefert die Parameterdarstellung der Parabel, die aus   durch Drehung um den Winkel   und anschließende Verschiebung um   hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform: Der Scheitel ist  
  3.   liefert die Parabel   Die Parameterdarstellung ist nicht in Scheitelform. Der Scheitelparameter ist   und die Scheitelform lautet:
 

Bemerkung: Sind die Vektoren   aus dem  , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Parabel im Raum.

Affine Selbstabbildungen der Parabel y=x²Bearbeiten

Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Normparabel   auf eine andere Parabel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Parabel   als Ganzes invariant:

  •  

Dies sind die einzigen affinen Abbildungen, die die Parabel   invariant lassen.

Zum Beweis: Setze   und wende die 1. binomische Formel an.

Spezialfälle:

  1. Für   bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
  2. Für   wird jeder Punkt der Parabel bewegt, d. h., es gibt keinen Fixpunkt auf der Parabel.
  3. Für   ist die Abbildung involutorisch, d. h., zweimal ausgeführt ist sie die Identität. Man nennt so eine Abbildung Schrägspiegelung, da eine Gerade, nämlich  , punktweise fest bleibt (siehe Abschnitt „Mittelpunkte paralleler Sehnen“). In diesem Fall gibt es genau einen Fixpunkt auf der Parabel:  . Nur im Fall   ist eine Schrägspiegelung eine „normale“ Spiegelung an der  -Achse.

Bemerkung: Ergänzt man die reelle affine Ebene durch eine Ferngerade und deren Fernpunkte zu einer projektiven Ebene und fügt der Parabel   den Fernpunkt der  -Achse hinzu, so erhält man einen nicht ausgearteten projektiven Kegelschnitt und hat mehr Abbildungen, projektive Kollineationen, zur Verfügung. Z. B. lässt die projektive Kollineation mit

 

die so erweiterte Parabel invariant. Diese Abbildung ist involutorisch, lässt die Parabelpunkte   fix und vertauscht den Parabelpunkt   mit dem Fernpunkt der  -Achse.

EigenschaftenBearbeiten

BrennpunktBearbeiten

 
Parabel: Brennpunkt-Eigenschaft

Wird ein Strahl, der parallel zur Achse einfällt, an der Parabel – d. h. an ihrer Tangente – gespiegelt, so geht der gespiegelte Strahl durch den Brennpunkt. Dieser gespiegelte Strahl wird auch Brennlinie oder Brennstrahl des betreffenden Parabelpunktes genannt. Die entsprechende Eigenschaft hat auch ein Rotationsparaboloid, also die Fläche, die entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Achse dreht; sie wird häufig in der Technik verwendet (siehe Parabolspiegel).

Um diese Eigenschaft einer Parabel nachzuweisen, geht man von einer Parabel der Form   aus. Dies ist keine Einschränkung, da jede Parabel in einem geeigneten Koordinatensystem so dargestellt werden kann. Die Tangente in einem Parabelpunkt   hat die Gleichung   (Die Steigung der Tangente ergibt sich aus der Ableitung  .) Die Tangente schneidet die  -Achse im Punkt  . Der Brennpunkt ist  . Der Lotfußpunkt des Lotes von   auf die Leitlinie   ist  . Für eine Parabel ist  . Aus den im Bild angegebenen Koordinaten der Punkte   erkennt man, dass   ist. Damit ist das Viereck   eine Raute und die Tangente ist eine Diagonale dieser Raute und damit eine Winkelhalbierende. Hieraus folgt:

  • Der Brennstrahl   ist die Spiegelung des einfallenden Strahls an der Tangente/Parabel.

Der Beweis und die Zeichnung zeigen eine Möglichkeit, die Tangente in einem Parabelpunkt mit Hilfe des Brennpunktes, der Leitlinie und der Raute   zu konstruieren. (Weitere Tangentenkonstruktionen sind im Abschnitt Tangentenkonstruktion enthalten.)

Mittelpunkte paralleler SehnenBearbeiten

 
Parabel: Mittelpunkte paralleler Sehnen

Für jede Parabel gilt:

  • Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Gerade. Diese Gerade ist parallel zur Parabelachse.

D. h., zu jedem Punktepaar   einer Sehne   gibt es eine Schrägspiegelung an einer Gerade  , die die Punkte   vertauscht und die Parabel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Gerade  , bei der alle Strecken Punkt-Bildpunkt zwar parallel zueinander aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse   sind. Sind die Sehnen senkrecht zur Parabelachse, so ist die Gerade   die Parabelachse und die Schrägspiegelung eine gewöhnliche Spiegelung.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Normalparabel   durch. Da alle Parabeln affine Bilder der Normalparabel sind (s. o.) und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Parabeln.

PunktkonstruktionBearbeiten

Eine beliebige Parabel kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung   beschrieben werden.

 
Parabel: Punktkonstruktion,  

Eine weitere Möglichkeit Parabelpunkte zu konstruieren, setzt die Kenntnis von drei Parabelpunkten und der Richtung der Parabelachse voraus:

Für eine Parabel   gilt: Sind

  •   vier Punkte der Parabel   und
  •   der Schnittpunkt der Sekante   mit der Geraden   sowie
  •   der Schnittpunkt der Sekante   mit der Geraden   (s. Bild),

dann ist die Sekante   parallel zur Geraden  .   und   sind Parallelen zur Parabelachse.

Sind die drei Punkte   einer Parabel gegeben, so kann durch Vorgabe einer Geraden durch   (nicht parallel zur Parabelachse und keine Tangente) mit dieser Eigenschaft der Parabelpunkt   auf dieser Geraden konstruiert werden.

Zum Beweis: Da nur Schneiden, Verbinden und Parallelität eine Rolle spielen, kann man den Beweis an der affin äquivalenten Normalparabel   führen. Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Gerade   parallel zur Geraden   ist.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 5-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

TangentenkonstruktionBearbeiten

 
Parabel: Tangentenkonstruktion,   Tangente in  
 
Parabel: Tangentenkonstruktion:  ,Tang. in   Tang. in  

Eine beliebige Parabel kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung   beschrieben werden.

1. MethodeBearbeiten

Für eine Parabel   gilt:

  • Sind   drei Punkte der Parabel   und
  der Schnittpunkt der Sekante   mit der Gerade  , sowie
  der Schnittpunkt der Sekante   mit der Gerade   (s. Bild),
dann ist die Tangente im Punkt   parallel zur Gerade  .
(  und   sind Parallelen zur Parabelachse.)

Diese Eigenschaft kann zur Konstruktion der Tangente im Punkt   benutzt werden.

Zum Beweis: Da nur Schneiden, Verbinden und Parallelität eine Rolle spielt, kann man den Beweis an der affin äquivalenten Normalparabel   führen. Eine kurze Rechnung zeigt, dass die Gerade   die Steigung   hat. Dies ist die Steigung der Tangente im Punkt  .

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 4-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

2. MethodeBearbeiten

Eine zweite Möglichkeit, die Tangente in einem Punkt zu konstruieren, beruht auf der folgenden Eigenschaft einer Parabel  :

  • Sind   zwei Punkte der Parabel   und
  der Schnittpunkt der Tangente in   mit der Gerade  , sowie
  der Schnittpunkt der Tangente in   mit der Gerade   (s. Bild),
dann ist die Sekante   parallel zur Gerade  .
(  und   sind Parallelen zur Parabelachse.)

Zum Beweis: Da nur Schneiden, Verbinden und Parallelität eine Rolle spielen, kann man den Beweis an der affin äquivalenten Normalparabel   führen.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.

Achsenrichtung-KonstruktionBearbeiten

 
Parabel: Achsenrichtung-Konstruktion

Bei der Punktkonstruktion und der Tangentenkonstruktion (s. o.) wird jeweils die Achsenrichtung der Parabel als bekannt vorausgesetzt. Ist die Achsenrichtung nicht bekannt, so lässt sie sich entweder

1) mit Hilfe der Mittelpunkte zweier paralleler Sehnen (s. oben) oder
2) mit Hilfe der folgenden Eigenschaft einer Parabel, die die Kenntnis zweier Parabelpunkte und deren Tangenten voraussetzt,

konstruieren.

Eine beliebige Parabel kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung   beschrieben werden.

Für eine Parabel   gilt: Sind

  •   zwei Punkte der Parabel,
  •   die zugehörigen Tangenten,
  •   der Schnittpunkt der beiden Tangenten  ,
  •   der Schnittpunkt der Parallele zu   durch den Punkt   mit der Parallele zu   durch   (s. Bild),

dann ist die Gerade   parallel zur Parabelachse und hat die Gleichung

 

Zum Beweis: Wie bei den vorigen Parabeleigenschaften kann man den Beweis für die Normalparabel   durchrechnen.

Bemerkung: Die hier beschriebene Eigenschaft ist eine affine Version der 3-Tangenten-Ausartung des Satzes von Brianchon.

Pol-Polare-BeziehungBearbeiten

 
Parabel: Pol-Polare-Beziehung

Eine Parabel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form   beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Parabelpunkt   ist  . Lässt man im rechten Teil der Gleichung zu, dass   ein beliebiger Punkt der Ebene ist, so wird

dem Punkt   die Gerade   zugeordnet.

Und umgekehrt kann man

der Gerade   den Punkt   zuordnen.

So eine Zuordnung Punkt <-> Gerade nennt man eine Polarität oder Pol-Polare-Beziehung. Der Pol ist der Punkt, die Polare ist die zugehörige Gerade.

Die Bedeutung dieser Pol-Polare-Beziehung besteht darin, dass die möglichen Schnittpunkte der Polare mit der Parabel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Parabel sind.

  • Liegt der Punkt (Pol) auf der Parabel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild:  ).
  • Liegt der Pol außerhalb der Parabel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Parabel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Parabel (s. Bild:  ).
  • Liegt der Punkt innerhalb der Parabel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Parabel (s. Bild:   und  ).

Zum Beweis: Die Bestimmung der Schnittpunkte der Polaren eines Punktes   mit der Parabel   und die Suche nach Parabelpunkten, deren Tangenten den Punkt   enthalten, führen auf dieselbe quadratische Gleichung.

Bemerkung:

  1. Der Schnittpunkt zweier Polaren (z. B. im Bild:  ) ist der Pol der Verbindungsgerade der zugehörigen Pole (hier:  ).
  2. Brennpunkt und Leitlinie sind zueinander polar.
  3. Zur Parabelachse parallele Geraden haben keine Pole. Man sagt: „Ihre Pole liegen auf der Ferngeraden.“

Bemerkung: Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und Hyperbeln. Siehe auch projektiver Kegelschnitt.

 
Parabel: zueinander orthogonale Tangenten

Orthogonale TangentenBearbeiten

Eine Parabel besitzt folgende Eigenschaft:

  • Zueinander orthogonale Tangenten schneiden sich auf der Leitlinie.

Der geometrische Ort aller Punkte, in denen sich Tangenten einer gegebenen Kurve orthogonal schneiden, heißt Orthoptische Kurve. Bei einer Parabel ist also ihre Leitlinie die zugehörige orthoptische Kurve.

FußpunktkurveBearbeiten

 
Fußpunktkurve einer Parabel bezüglich ihres Brennpunktes

Die Fußpunktkurve (engl.: pedal curve) einer (regulären) Kurve ist die Gesamtheit der Lotfußpunkte von einem festen Punkt   aus auf die Tangenten der Kurve. Für eine Parabel gilt:

  • Die Fußpunktkurve einer Parabel bezüglich ihres Brennpunktes   ist die Tangente im Scheitel.

Beweis:

Der Brennpunkt der Parabel   ist der Punkt  . Die Tangente in einem beliebigen Parabelpunkt   hat die Gleichung

 

Für   ist die Behauptung richtig, sodass im Folgenden   vorausgesetzt werden kann.
Das Lot vom Brennpunkt aus auf die Tangente hat die Gleichung

 

Für den Schnittpunkt der Tangente mit dem Lot muss also

 

erfüllt sein, was nur für   möglich ist.

Parabeln der Form y=ax²+bx+cBearbeiten

Peripheriewinkelsatz für ParabelnBearbeiten

Parabeln der Form   sind Funktionsgraphen, die durch die 3 Parameter   eindeutig bestimmt sind. Man benötigt also 3 Punkte, um diese Parameter zu ermitteln. Eine schnelle Methode beruht auf dem Peripheriewinkelsatz für Parabeln.

 
Parabel: Peripheriewinkelsatz

Um einen Winkel zwischen zwei Sehnen zu messen führen wir für zwei Geraden, die nicht zur  -Achse parallel sind, ein Winkelmaß ein:

Für zwei Geraden   messen wir den zu gehörigen Winkel mit der Zahl  .

Zwei Geraden sind parallel, wenn   und damit das Winkelmaß =0 ist.

Analog zum Peripheriewinkelsatz für Kreise gilt hier der

Peripheriewinkelsatz (für Parabeln):

Für vier Punkte   (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen nur dann auf einer Parabel der Form  , wenn die Winkel bei   und   im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn
 

(Beweis durch Nachrechnen. Dabei kann man für die eine Richtung voraussetzen, dass die Punkte auf einer Parabel   liegen.)

3-Punkte-Form einer ParabelBearbeiten

Analog zur 2-Punkteform einer Gerade (Steigungswinkel werden mit der Steigung gemessen) folgt aus dem Peripheriewinkelsatz für Parabeln die

3-Punkte-Form (für Parabeln):

Die Gleichung der Parabel durch 3 Punkte   ergibt sich durch Auflösen der Gleichung
 
nach y.

Parabel in PolarkoordinatenBearbeiten

Eine Parabel, die in kartesischen Koordinaten durch   beschrieben ist, erfüllt in Polarkoordinaten die Gleichung

 

Ihr Brennpunkt ist  . Legt man den Koordinatenursprung in ihren Brennpunkt, gilt für sie die polare Gleichung

 

Graphische MultiplikationBearbeiten

 
Graphische Multiplikation von 2 und 3 mithilfe einer Normalparabel

Eine Normalparabel ist eine „Multiplikationsmaschine“: Man kann mit ihr auf graphischem Wege das Produkt zweier Zahlen berechnen. Dazu zeichnet man zunächst die Normalparabel   in ein kartesisches Koordinatensystem ein. Die zu multiplizierenden Faktoren trägt man auf der  -Achse ab und bestimmt für jeden Wert einen Punkt auf der Parabel. Sind die Zahlen mit   und   bezeichnet, ergeben sich also zwei Punkte   und  . Die Gerade durch   und   schneidet die  -Achse in einem Punkt, dessen  -Koordinate den Wert   hat. Im Grenzfall   ergibt sich die Gerade als Tangente an die Parabel.

Falls   und   gleiches Vorzeichen haben, ist es praktikabler, einen der Faktoren in negativer Richtung aufzutragen anstatt später das Vorzeichen des Ergebnisses umzudrehen, so geschehen im Beispiel mit den Werten   und  . Hier trägt man die Faktoren als  -Werte mit unterschiedlichen Vorzeichen in das Koordinatensystem ein, nämlich als   und  . Verbindet man die Punkte durch eine Gerade, so erkennt man, dass der Schnittpunkt der Geraden mit der  -Achse gleich 6 = 2·3 ist.

Parabel und KettenlinieBearbeiten

 
Approximation von cosh durch eine Parabel (rot)

Kettenlinien ähneln Parabeln, sind aber keine. Das Seil einer Hängebrücke, das durch sein Eigengewicht durchhängt, beschreibt eine Kettenlinie. Diese wird nicht durch eine quadratische Funktion, sondern durch den Kosinus hyperbolicus beschrieben. Mathematisch drückt sich die Ähnlichkeit dadurch aus, dass der Kosinus hyperbolicus sich in die Reihe

 

entwickeln lässt. Die ersten beiden Terme (rot) beschreiben eine Parabel und können als Approximation der cosh-Funktion für kleine   verwendet werden.

Parabeln als quadratische BézierkurvenBearbeiten

 

Eine quadratische Bézierkurve ist eine Kurve, deren Parameterdarstellung   durch drei Punkte  ,   und   bestimmt wird:

 

Diese Kurve ist ein Parabelbogen (s. Abschnitt: Parabel als affines Bild der Normalparabel).

Parabeln und numerische IntegrationBearbeiten

 
Simpson-Regel: Parabelbogen ersetzt Kurventeil

Bei der numerischen Integration nähert man den Wert eines bestimmten Integrals dadurch an, dass man den Graphen der zu integrierenden Funktion durch Parabelbögen annähert und integriert diese. Dies führt zur Simpsonregel, siehe Bild.

 

Die Güte der Approximation wird dadurch erhöht, dass man die Unterteilung vergrößert und den Graphen durch entsprechend viele Parabelbögen ersetzt und diese integriert.

Parabeln als ebene Schnitte von QuadrikenBearbeiten

Folgende Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) besitzen Parabeln als ebene Schnitte:

Laguerre-Ebene: Geometrie der ParabelnBearbeiten

Eine Laguerre-Ebene ist im klassischen Fall eine Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen die Geometrie der Kurven  , das sind Parabeln und Geraden, in der reellen Anschauungsebene beschreibt. Als Verbindungskurven stehen hier nicht nur Geraden, sondern auch Parabeln zur Verfügung. Z. B. gibt es in einer Laguerre-Ebene zu drei Punkten mit verschiedenen x-Koordinaten genau eine solche Verbindungskurve.

Parabel als TrisektrixBearbeiten

 
Exakte Winkeldrittelung mit einer Parabel

Eine Parabel lässt sich auch als Trisektrix verwenden, das heißt mit ihr als zusätzlichem Hilfsmittel ist die exakte Dreiteilung beliebiger Winkel mit Zirkel und Lineal möglich. Man beachte, dass dies nicht im Widerspruch zur Unmöglichkeit Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal steht, da nach den klassischen Regeln für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal die Verwendung von Parabeln nicht erlaubt ist.

Um einen   zu dritteln, platziert man seinen Schenkel   auf der x-Achse, so dass der Scheitel   im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Das Koordinatensystem enthält außerdem den Graph der Parabel  . Vom Schnittpunkt des Einheitskreises um den Ursprung mit dem zweiten Winkelschenkel   fällt man das Lot auf die y-Achse. Die Mittelsenkrechte des Lots und die Tangente an den Einheitskreis im Punkt   schneiden sich in einem Punkt  . Dann schneidet der Kreis um   mit Radius   die Parabel in   und das Lot von   auf die x-Achse schneidet den Einheitskreis in  . Der Winkel   beträgt nun exakt ein Drittel des Ausgangswinkels  .

Die Korrektheit dieser Konstruktion kann man nachweisen, indem man zeigt, dass die x-Koordinate von   den Wert   besitzt. Das Gleichungssystem bestehend aus der Gleichung des Kreises um C und der Parabel liefert für die x-Koordinate von   die kubische Gleichung  . Anhand der trigonometrischen Identität   sieht man nun sofort, dass   eine Lösung der kubischen Gleichung ist.

Diese Art der Winkeldreiteilung geht auf René Descartes zurück, der sie in seinem Buch La Geometria (1637) beschrieb.[10][11]

Parabel höherer OrdnungBearbeiten

Unter einer Parabel der Ordnung   versteht man den Graph eines Polynoms   (im Gegensatz zu den Graphen von e-Funktion oder Wurzelfunktion, …). Eine Parabel 3. Ordnung wird auch kubische Parabel genannt.

Also: nur im Fall   ist eine Parabel höherer Ordnung eine gewöhnliche Parabel.

Neilsche ParabelBearbeiten

Die Neilsche Parabel oder semikubische Parabel ist eine algebraische Kurve 3. Ordnung:

  • Kartesische Koordinatengleichung:   mit einem reellen Parameter  
  • Explizit:  

Sie ist keine Parabel im üblichen Sinne; d. h. kein Kegelschnitt.

Parabel y=x² über einem beliebigen ZahlkörperBearbeiten

Betrachtet man in einer affinen Ebene über einem beliebigen (kommutativen) Körper   die Punktmenge, die der Parabelgleichung   genügt, so bleiben viele Eigenschaften der reellen Normalparabel, die mit „schneiden“, „verbinden“ und „parallel“ formuliert werden und deren Beweise nur Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion verwenden, erhalten.[12] Z. B.:

  • Eine Gerade schneidet die Parabel   in höchstens zwei Punkten.
  • Durch jeden Parabelpunkt   gibt es (neben der Geraden  ) genau eine Gerade, die mit der Parabel nur den Punkt   gemeinsam hat, die Tangente:  . Eine Gerade ohne Schnittpunkt heißt Passante, eine mit zwei Schnittpunkten Sekante.

Unterschiede zum reellen Fall:

  1. Für   (rationale Zahlen) ist die Gerade   eine Passante, denn die Gleichung   hat in   keine Lösung.
  2. Für   (komplexe Zahlen) gibt es keine Passanten. Z. B.:   schneidet die Parabel in den Punkten  .
  3. Hat der Körper die Charakteristik 2 (d. h., es gilt  ), so gibt es unter den Geraden   keine Sekanten, da jede Gleichung   im Fall Charakteristik 2 höchstens eine Lösung hat (es gibt kein „ “). Die Tangente im Parabelpunkt   hat (bei Charakteristik 2) die Gleichung  . D. h., alle Tangenten sind parallel zur  -Achse.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Parabeln – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wiktionary: Parabel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: Gundolf Keil (Hrsg.): „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34; hier S. 17.
  3. Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, S. 334
  4. Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, Uni Darmstadt, S. 16.
  5. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books), 2. Teil, S. 96.
  6. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 107.
  7. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 95.
  8. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 117.
  9. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 123.
  10. Robert C. Yates: The Trisection Problem. National Mathematics Magazine, Vol. 15, No. 4 (Jan., 1941), pp. 191–202 (JSTOR)
  11. Robert C. Yates: The Trisection Problem, 5. The Parabola. In: ERIC. National Council of Teachers of Mathematics, Inc.,Washington, D.C., 1971, S. 35–37, abgerufen am 19. Juni 2019.
  12. Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, Uni Darmstadt, S. 12–16.