Beschränkte Variation

In der Analysis ist eine Funktion von beschränkter Variation (beschränkter Schwankung), wenn ihre totale Variation (totale Schwankung) endlich ist, sie also in gewisser Weise nicht beliebig stark oszilliert. Diese Begriffe hängen eng mit der Stetigkeit und der Integrierbarkeit von Funktionen zusammen.

Beispiele für Funktionen unbeschränkter Variation
Beispiele für Funktionen beschränkter Variation

Der Raum aller Funktionen von beschränkter Variation auf dem Gebiet wird mit bezeichnet.

Das Konzept geht auf Camille Jordan zurück[1][2]

Reelle FunktionenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Die totale Variation einer reellwertigen Funktion  , die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, ist das Supremum

 

wobei dieses Supremum über alle möglichen Partitionen   des Intervalls   gebildet wird. Das hier angegebene   hängt von   ab.

Genau die stetigen Funktionen von beschränkter Variation sind Riemann-Stieltjes-integrierbar. Deshalb kann   mit einer Halbnorm ausgestattet werden:

 .

Dieses Supremum wird über alle Funktionen   mit kompaktem Träger und Funktionswerten im Intervall   gebildet.

Die Halbnorm stimmt mit dem Supremum, das die beschränkte Variation definiert, überein.

BeispielBearbeiten

 
Beispiel für unbeschränkte Variation

Ein einfaches Beispiel für eine unbeschränkte Variation ist die Funktion   in der Nähe von  . Es ist anschaulich einsichtig, dass der Wert des Quotienten   für   mit zunehmender Annäherung an 0 immer schneller gegen ∞ anwachsen wird, und damit der Sinus dieses Werts dabei unendlich viele Schwingungen durchlaufen wird. Dies zeigt das Bild rechts.

Die Funktion

 

ist ebenfalls nicht von beschränkter Schwankung im Intervall [0, 1], im Gegensatz zur Funktion:

 .

Hier wird die Variation des Sinusterms, die für   stark zunimmt, durch die zusätzliche Potenz genug gedämpft.

ErweiterungenBearbeiten

Diese Definition kann auch für komplexwertige Funktionen verwendet werden.

BV-Funktionen in mehreren VariablenBearbeiten

Funktionen von beschränkter Variation, oder  -Funktionen, sind Funktionen, deren distributionelle Ableitungen endliche vektorwertige Radonmaße sind. Genauer:

DefinitionBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge von  . Eine Funktion   ist von beschränkter Variation oder Element von  , wenn ihre distributionelle Ableitung ein endliches, signiertes, vektorwertiges Radonmaß ist. D. h., es existiert  , so dass

 

gilt.

Zusammenhang mit rektifizierbaren WegenBearbeiten

Eine stetige Funktion   kann auch als Weg im metrischen Raum   aufgefasst werden. Es gilt, dass   genau dann von beschränkter Variation ist, wenn   ein rektifizierbarer Weg ist, also eine endliche Länge hat.

Zusammenhang mit der MaßtheorieBearbeiten

In der Maßtheorie sind die reell-/komplexwertigen Funktionen von beschränkter Variation genau die Verteilungsfunktionen von signierten/komplexen Borelmaßen auf  .

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Golubov, Variation of a function, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  2. Golubov, Function of boundes variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer