Satz von Minkowski

mathematischer Satz

Der Satz von Minkowski (nach Hermann Minkowski) ist ein mathematischer Satz, der sich mit gewissen geometrischen Gebilden und ihren äußersten Randpunkten beschäftigt. Genauer stammt er aus der Theorie der konvexen Mengen in endlichdimensionalen Räumen und stellt eine Beziehung zwischen einer kompakten konvexen Menge und ihren Extremalpunkten her. (Dieser Satz ist nicht mit dem Minkowskischen Gitterpunktsatz zu verwechseln.)

Formulierung des Satzes

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Für eine kompakte, konvexe Menge   und eine Teilmenge   sind folgende Aussagen äquivalent[1]:

  •   ist die konvexe Hülle von  .
  • Die Extremalpunkte von   sind in   enthalten.

Insbesondere ist in einem endlichdimensionalen Raum eine kompakte, konvexe Menge gleich der konvexen Hülle ihrer Extremalpunkte. Auch diese Aussage wird oft Satz von Minkowski genannt.

Satz von Carathéodory

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Der Mathematiker Constantin Carathéodory hat im Jahre 1911 den folgenden bekannten Lehrsatz bewiesen:[2][3][4]

(1) Ist (für zwei gegebene natürliche Zahlen   und   mit  ) im euklidischen Raum   eine Teilmenge   gegeben und ist diese in einem n-dimensionalen affinen Unterraum von   enthalten, so ist die konvexe Hülle von   gleich der Menge aller Konvexkombinationen, die aus maximal   Elementen von   gebildet werden. Formal ausgedrückt gilt also:

 .

Kombiniert man dies mit dem Satz von Minkowski, so erhält man:

(2) Jeder Punkt einer kompakten, konvexen Teilmenge  , die in einem n-dimensionalen affinen Unterraum enthalten ist, ist eine Konvexkombination von höchstens   Extremalpunkten.

Da man stets   als affinen Unterraum wählen kann, erhält man eine Aussage, die manchmal auch als Satz von Minkowski bezeichnet wird:

(3) Jeder Punkt einer kompakten, konvexen Teilmenge   ist eine Konvexkombination von höchstens   Extremalpunkten.

Verallgemeinerung des Satzes von Carathéodory

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Im Jahre 1982 stellte der ungarische Mathematiker Imre Bárány eine Verallgemeinerung des Carathéodory'schen Satzes vor, den man als Satz von Bárány (englisch Bárány's Theorem) bezeichnen kann und der folgendes besagt:[5][6]

(4) Sind   Teilmengen   gegeben sowie ein Raumpunkt  , so existieren auch stets   ausgewählte Raumpunkte   derart, dass   schon in der konvexen Hülle   dieser   Raumpunkte liegt.

Den Satz von Carathéodory gewinnt man dabei für den Spezialfall  .[6]

Bemerkungen

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  • Obiger Satz von Minkowski verallgemeinert sich in unendlichdimensionalen lokalkonvexen Räumen zum Satz von Krein-Milman. Die dort geltenden Aussagen sind schwächer, da Abschlussbildungen hinzukommen.
  • Obige Aussage (3) lässt sich nicht weiter verbessern. Für die Darstellung des Mittelpunktes eines nicht-ausgearteten Simplexes im   muss man alle   Ecken verwenden.
  • Eine weitere nicht-triviale Folgerung aus dem Satz von Minkowski ist, dass eine kompakte, konvexe Menge überhaupt Extremalpunkte hat. Solche Überlegungen spielen bei der Begründung des Simplex-Verfahrens eine Rolle.

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes, Springer New York Heidelberg Berlin (1983), Th. 5.10
  2. C. Carathéodory: Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen. In: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Band 32, 1911, S. 193–217.
  3. Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes, Springer New York Heidelberg Berlin (1983), Cor. 2.4
  4. W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. 1998, S. 67
  5. Imre Bárány: A generalization of Carathéodory's theorem. In: Discrete Mathematics. Band 40, 1982, S. 141–152 (MR0676720).
  6. a b Coppel, op. cit., S. 68