Simplizialkomplex

Objekt in der algebraischen Topologie

Ein Simplizialkomplex ist ein Begriff der algebraischen Topologie. Bei einem Simplizialkomplex handelt es sich um ein rein kombinatorisch beschreibbares Objekt, mit dessen Hilfe die entscheidenden Eigenschaften von bestimmten, als triangulierbar bezeichneten topologischen Räumen algebraisch charakterisiert werden können. Insbesondere werden Simplizialkomplexe dazu verwendet, für den zugrundeliegenden topologischen Raum Invarianten zu definieren.

Die Idee des Simplizialkomplexes besteht darin, einen topologischen Raum dadurch zu untersuchen, dass – sofern möglich – durch Zusammenfügen von Simplizes eine Menge im d-dimensionalen euklidischen Raum konstruiert wird, die homöomorph ist zum gegebenen topologischen Raum. Die „Anleitung zum Zusammenbau“ der Simplizes, das heißt die Angaben darüber, wie die Simplizes zusammengefügt sind, wird dann in Form einer Sequenz von Gruppenhomomorphismen rein algebraisch charakterisiert.

DefinitionenBearbeiten

Abstrakter SimplizialkomplexBearbeiten

 
Ein dreidimensionaler Simplizialkomplex

Ein abstraktes Simplex   ist eine endliche nichtleere Menge. Ein Element eines abstrakten Simplexes nennt man Ecke von  , eine nichtleere Teilmenge von   ist wieder ein abstraktes Simplex und wird Facette (oder Seite) von   genannt.

Ein abstrakter oder auch kombinatorischer Simplizialkomplex   ist eine Menge von Simplizes mit der Eigenschaft, dass jede Facette   eines Simplexes   wieder zu   gehört, also  . Die Vereinigungsmenge aller Ecken von Simplizes des Simplizialkomplexes   wird Eckenmenge oder Eckpunktbereich genannt und mit   bezeichnet.[1]

Die Dimension eines abstrakten Simplex, das   Ecken enthält, ist definiert als  , und die Dimension des Simplizialkomplexes   ist definiert als das Maximum der Dimension aller Simplizes. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann heißt   unendlichdimensional.

Der Simplizialkomplex   heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist, und lokal endlich, falls jede Ecke nur zu endlich vielen Simplizes gehört.

Das  -Skelett   eines Simplizialkomplexes   ist die Menge aller seiner Simplizes der Dimension  .

Geometrischer SimplizialkomplexBearbeiten

Ein geometrischer Simplizialkomplex   ist eine Menge von Simplizes in einem euklidischen Raum   mit der Eigenschaft, dass jede Facette   eines Simplexes   wieder zu   gehört und dass für alle Simplizes   der Durchschnitt   entweder leer oder eine gemeinsame Facette von   und   ist. Mit   wird die Vereinigung aller Simplizes des geometrischen Komplexes bezeichnet.

Geometrische RealisierungBearbeiten

Ein geometrischer Simplizialkomplex  , dessen Ecken einem gegebenen abstrakten Simplizialkomplex   entsprechen, heißt geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes  . Sie wird mit   bezeichnet. Alle geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes sind zueinander homöomorph.

Zu einem Punkt   gibt es einen eindeutigen Simplex aus  , in dessen Innerem   liegt. Dieser Simplex wird als Trägersimplex von   bezeichnet.

Ein simplizialer Teilkomplex   ist eine Menge von Simplizes in   derart, dass die Vereinigung der Simplizes in  einen simplizialen Komplex bildet.[2]

TriangulierungBearbeiten

Ein topologischer Raum heißt triangulierbar, wenn er homöomorph zu einem geometrischen Simplizialkomplex ist.

Abschluss, Stern und LinkBearbeiten

Sei   eine Menge von Simplizes in einem geometrischen Simplizialkomplex  . Man kann nun durch drei Konstruktionen   zu einem Teilkomplex von   machen, wobei der Stern von   beim Beweis des simplizialen Approximationssatz gebraucht wird.

AbschlussBearbeiten

Der Abschluss   von   ist der kleinste simpliziale Teilkomplex von  , der jedes Simplex in   enthält. Man definiert  . Der Abschluss entsteht, indem man zu jedem Simplex in   all seine Seiten (Facetten) hinzufügt.

SternBearbeiten

Der Stern   von   ist der Abschluss aller Simplizes, die eine Seite in   besitzen. Man definiert  . Den Stern kann man verstehen als die kleinste simpliziale Umgebung von   in  . Weiterhin bildet   eine offene simpliziale Umgebung von   in  .

LinkBearbeiten

Der Link   besteht aus allen Simplizes im Stern von  , die kein Simplex von   treffen. Man definiert:  . Den Link kann man als den topologischen Rand der simplizialen Umgebung auffassen.[3]

Simpliziale AbbildungenBearbeiten

Eine simpliziale Abbildung   ist eine Abbildung zwischen den Eckenmengen  , bei der für jedes Simplex aus   dessen Ecken unter der Abbildung   auf die Ecken eines Simplex in   abgebildet werden.[4]

Eine simpliziale Abbildung   induziert eine stetige Abbildung  . Dazu wird im Inneren jedes geometrischen Simplex eine affin lineare Fortsetzung konstruiert.

Umgekehrt lässt sich eine stetige Abbildung   nach endlich vielen baryzentrische Unterteilungen durch eine simpliziale Abbildung   approximieren, siehe simplizialer Approximationssatz. Hierbei steht   für die baryzentrische Unterteilung.

Eine simpliziale Abbildung, die bijektiv ist, das heißt, die Umkehrabbildung ist auch eine simpliziale Abbildung, nennt man einen simplizialen Isomorphismus.

Der Simplizialkomplex als KettenkomplexBearbeiten

Sei   ein endlicher Simplizialkomplex. Die  -te simpliziale Gruppe von   ist die freie abelsche Gruppe, die von der Menge der Simplizes mit Dimension   erzeugt wird, sie wird mit   notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale  -Ketten. Wählt man eine totale Ordnung für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von   liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne  -Simplex. Ein Randoperator   wird dann definiert durch

 

wobei   das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt   für alle simplizialen  -Ketten  . Daher ist   ein Kettenkomplex und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine Homologie erklären. Diese Homologie wird simpliziale Homologie genannt.

Anwendung in der GraphentheorieBearbeiten

Man kann einem Graphen Simplizialkomplexe zuweisen, um so untere Schranken an die chromatische Zahl zu beweisen. Wahrscheinlich am bekanntesten sind die Nachbarschaftskomplexe von László Lovász.

GeschichteBearbeiten

Triangulierungen und ein in Matrixschreibweise formuliertes Äquivalent zu dem daraus gebildeten Kettenkomplex wurden von Henri Poincaré gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts untersucht. Simplizale Abbildungen wurde erstmals 1912 von Brouwer verwendet. In den 1920er-Jahren entstand dann die Sichtweise, die zum Begriff des Kettenkomplexes führte.[5]

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 158 (online)
  2. Herbert Seifert, William Threlfall: Lehrbuch der Topologie. Hrsg.: AMS Chelsea Publ. 2004, ISBN 978-0-8218-3595-1, S. 47.
  3. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. 1. Auflage. Springer Spektrum, 2017, ISBN 978-3-662-54963-6, S. 163–164.
  4. H. Hopf, P. Alexandroff: Topologie, Berlin, 1935, S. 172 (online)
  5. Jean Dieudonné: A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, S. 4–6, Boston 1989, Reprint 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4

QuellenBearbeiten

WeblinksBearbeiten