Ein Gebiet (hellblau) und sein Rand (dunkelblau).

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Begriff Rand eine Abstraktion der anschaulichen Vorstellung einer Begrenzung eines Bereiches.

DefinitionEdit

Der Rand einer Teilmenge   eines topologischen Raumes   ist die Differenzmenge zwischen Abschluss und Innerem von  . Der Rand einer Menge   wird üblicherweise mit   bezeichnet, also:

(*)  .

Die Punkte aus   werden Randpunkte genannt.

ErläuterungEdit

Jeder Randpunkt von   ist auch Berührungspunkt von   und jeder Berührungspunkt von   ist Element von   oder Randpunkt von  . Die Berührungspunkte von   zusammen bilden den Abschluss von  . Es ist also

(**)  

Zu jeder Teilmenge   zerfällt der topologische Raum   in das Innere von  , den Rand von   und das Äußere von  :

 

AbgrenzungEdit

Sowohl in der algebraischen Topologie als auch in der Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten gibt es Begriffe von „Rand“, die mit dem hier behandelten Randbegriff der mengentheoretischen Topologie verwandt sind, aber mit diesem (und untereinander) nicht übereinstimmen.

EigenschaftenEdit

  • Der Rand einer Menge ist stets abgeschlossen.
  • Der Rand einer Menge   besteht genau aus den Punkten, für die gilt, dass jede ihrer Umgebungen sowohl Punkte aus   als auch Punkte, die nicht in   liegen, enthält.
  • Der Rand einer Menge ist stets gleich dem Rand ihres Komplements.
  • Der Rand einer Menge ist der Schnitt des Abschlusses der Menge mit dem Abschluss ihres Komplementes.
  • Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie ihren Rand enthält.
  • Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie zu ihrem Rand disjunkt ist.
  • Eine Menge ist genau dann offen und abgeschlossen, wenn ihr Rand leer ist.
  • Es seien   ein topologischer Raum,   eine offene Teilmenge mit der Teilraumtopologie und   eine Teilmenge. Dann ist der Rand von   in   gleich dem Schnitt von   mit dem Rand von   in  . Lässt man die Voraussetzung der Offenheit von   fallen, so gilt die entsprechende Aussage im Allgemeinen nicht, selbst wenn   ist. Im Beispiel  ,   ist auch  , und diese Menge besitzt in   gar keinen Rand, obgleich sie in   mit diesem identisch ist.

BeispieleEdit

  • Ist   eine offene oder abgeschlossene Kreisscheibe in der Ebene  , so ist der Rand von   die zugehörige Kreislinie.
  • Der Rand von   als Teilmenge von   ist ganz  .

RandaxiomeEdit

Für einen topologischen Raum   ist das Bilden des Randes ein Mengenoperator auf  , der Potenzmenge von  . Dieser erfüllt für   und   stets die folgenden vier Regeln, die sogenannten Randaxiome:[1][2]

(R1)    
(R2)    
(R3)    
(R4)    

Durch die vier Regeln (R1) - (R4) ist die Struktur des topologischen Raum   eindeutig festgelegt. Der mittels (**) gegebene Mengenoperator auf   ist ein Abschlussoperator im Sinne der Kuratowskischen Hüllenaxiome und so in Verbindung mit (*) umkehrbar eindeutig mit dem Randoperator   verknüpft.

Dabei gilt für das Mengensystem  , also die Menge der offenen Mengen von  :

 

LiteraturEdit

EinzelnachweiseEdit

  1. Vaidyanathaswamy: Set topology. 1964, S. 57–58.
  2. Schubert: Topologie. 1975, S. 16.