Simpliziale Homologie

mathematische Methode

Die Simpliziale Homologie ist in der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Methode, die einem beliebigen Simplizialkomplex eine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt sie die Löcher unterschiedlicher Dimension des zugrunde liegenden Raumes.

Simplizialkomplexe

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Ein simplizialer Komplex (oder Simplizialkomplex)   ist eine Menge von (durch ihre Eckpunkte eindeutig bestimmten) Simplizes, so dass jede Seitenfläche eines der Simplizes wieder in dieser Menge liegt. Einfache Beispiele sind Polygone und Polyeder. Nach einem Satz der Topologie kann man jede differenzierbare Mannigfaltigkeit triangulieren, also als einen simplizialen Komplex (SK) auffassen.

Simpliziale Homologie

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Zu einem Simplizialkomplex   betrachten wir für   die freie abelsche Gruppe über der Menge der  -Simplizes des simplizialen Komplexes  .

Elemente von   sind also formale Summen der Form

 

mit   und   ein  -Simplex von  . Dabei wird gefordert, dass   gilt, wenn die Simplizes   und   umgekehrte Orientierung besitzen.

Die „Randabbildung“   bilde jeden Simplex auf die alternierende Summe seiner Seitenflächen ab, das heißt

 

wobei   bedeutet, dass   ausgelassen wird. Die alternierenden Vorzeichenfaktoren können auch als „geometrische Orientierungszahlen“ interpretiert werden.

Diese auf den Erzeugern von   definierte Randabbildung setzt sich durch lineare Fortsetzung

 

eindeutig zu einer Abbildung   fort. Man rechnet leicht nach, dass

 

gilt.   ist also ein Kettenkomplex, er wird als simplizialer Kettenkomplex des Simplizialkomplexes   bezeichnet.

Die Homologie dieses Kettenkomplexes heißt die simpliziale Homologie von   und wird mit   bezeichnet.

Beispiel

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Rechenbeispiel

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Dreieck

Wir wollen die Homologiegruppen des Dreiecks (bestehend aus drei 0-Simplizes   und den drei sie verbindenden 1-Simplizes, keinem 2-Simplex und keinen höherdimensionalen Simplizes) berechnen.

Nach Definition des Randoperators ist  , also:

 

d. h. alle 0-Ketten sind im Kern.

Für eine 1-Kette   ist

 .

Daraus erhält man

 .

Eine 0-Kette   gehört also genau dann zum Bild von  , wenn

 
 
 ,

also genau dann, wenn  . Daraus folgt

 .

Zur Berechnung der ersten Homologiegruppe: Für eine 1-Kette

 

ist   genau dann, wenn  , also

 

Weil es keine 2-Simplizes gibt, sind Kern und Bild von   trivial,  . Damit erhalten wir:

 
 

und trivialerweise   für alle  .

Weitere Beispiele

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Es gelten:

  • Ist   der simpliziale Komplex, der das Dreieck mit Inhalt trianguliert. Das heißt der Komplex wie oben, nur zusätzlich mit dem 2-Simplex. Dann ergibt sich  .
  • Für den 2-Torus   gilt   und   für  .
  • Für die Kleinsche Flasche   gilt   und   für  .
  • Es gilt   und   für alle  .
  • Sei   ein simplizialer Komplex mit   Zusammenhangskomponenten, dann gilt  .

Funktorialität

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Simpliziale Abbildungen

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Eine simpliziale Abbildung   induziert eine Kettenabbildung

 

durch

 

und wegen   eine wohldefinierte Abbildung

 .

Stetige Abbildungen

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Sei

 

eine stetige Abbildung zwischen den geometrischen Realisierungen zweier Simplizialkomplexe   und  . Wir bezeichnen mit   die baryzentrische Unterteilung von   und mit   die  -fach iterierte baryzentrische Unterteilung. Es gilt  .

Nach dem simplizialen Approximationssatz gibt es ein  , so dass   eine simpliziale Approximation

 

besitzt.

Dann wird

 

definiert als die Verknüpfung von   mit dem kanonischen Isomorphismus  . Man kann zeigen, dass der so definierte Homomorphismus   unabhängig von der Wahl der simplizialen Approximation ist.

Simpliziale Homologie mit Koeffizienten

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Für eine abelsche Gruppe   und einen Simplizialkomplex   definiert man

 .

Elemente von   sind also formale Summen der Form   mit   und   ein  -Simplex in  . Der Randoperator setzt sich fort mittels

 .

Die Homologie mit Koeffizienten in G

 

ist definiert als die Homologie des Kettenkomplexes  .

Simpliziale versus Singuläre Homologie

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Die simpliziale Homologie eines Simplizialkomplexes ist isomorph zur singulären Homologie seiner geometrischen Realisierung:

 .

Literatur

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  • Stöcker, Ralph; Zieschang, Heiner: Algebraische Topologie. Eine Einführung. 2. Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X.