In der algebraischen Topologie ist ein Moore-Raum ein CW-Komplex, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Homologiegruppe hat. Er ist daher die homologische Analogie eines Eilenberg-MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

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Für eine abelsche Gruppe   und eine natürliche Zahl   ist ein CW-Komplex  , der für   zusätzlich einfach zusammenhängend (das heißt wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) sein soll, ein Moore-Raum, wenn die reduzierten singulären Homologiegruppen

 

erfüllen. Ein solcher Raum ist bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig und wird dager mit   bezeichnet.[1] Dieses Resultat würde ohne die beiden Eigenschaften, ein einfach zusammenhängender CW-Komplex zu sein, nicht gelten.

  • Die Einhängung eines Moore-Raumes ist wieder ein Moore-Raum, da dieser den Grad der Homologie um eins hinauf verschiebt.[2] Für eine Gruppe   und   ist   der Moore-Raum  .
  • Das unendliche symmetrische Produkt   eines Moore-Raumes ist ein Eilenberg–MacLane-Raum, da dessen Nachkomposition mit der  -ten Homotopiegruppe   genau die  -te (integrale) Homologiegruppe   ist (Satz von Dold-Thom).[3] Für eine Gruppe   und   ist   der Eilenberg–MacLane-Raum  .
  • Für eine Gruppe   und   ist der Moore-Raum   aufgrund induktiver Anwendung des Satzes von Hurewicz sogar  -zusammenhängend mit  .

Beispiele

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  • Die  -Sphäre   ist der Moore-Raum   für  .
  • Die reelle projektive Ebene   ist der Moore-Raum  . Ihre  -fache Einhängung   ist daher der Moore-Raum  .

Siehe auch

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Literatur

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  • Allen Hatcher. Algebraic topology, Cambridge University Press (2002), Für die Diskussion über Moore-Räume siehe Chapter 2, Example 2.40. Eine kostenlose digitale Version ist verfügbar auf der Webseite des Autors.

Einzelnachweise

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  1. Allen Hatcher: Algebraic Topology., Chapter 4, Example 4.34
  2. Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 2.2., Exercise 32
  3. Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 4.K., Exercise 4K.6