Klassifizierender Raum von SO(n)
Der klassifizierende Raum der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe ist der Basisraum des universellen -Hauptfaserbündels . Das bedeutet, dass -Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben.
Definition Bearbeiten
Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch . Deren direkter Limes ist:[1]
Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:
überträgt sich die -Wirkung auf .
Kleinster klassifizierender Raum Bearbeiten
- Es ist die triviale Gruppe und daher der triviale topologische Raum.
- Es ist und daher der unendliche komplexe projektive Raum.
Klassifikation von Hauptfaserbündeln Bearbeiten
Für einen topologischen Raum sei die Menge der -Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:
bijektiv.[2]
Kohomologiering Bearbeiten
Der Kohomologiering von mit Koeffizienten in wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:[3][4]
Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik .
Der Kohomologiering von mit Koeffizienten im Körper der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:
Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik .
Unendlicher klassifizierender Raum Bearbeiten
Die kanonische Inklusionen induzieren kanonische Inklusionen auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:
bezeichnet. ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von .
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Hrsg.: Princeton University Press. 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]).
- Allen Hatcher: Algebraic topology. Hrsg.: Cambridge University Press, Cambridge. 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu).
- Stephen Mitchell: Universal principal bundles and classifying spaces. August 2001 (englisch, mit.edu [PDF]).
Weblinks Bearbeiten
- classifying space auf nLab (englisch)
- BSO(n) auf nLab (englisch)