Homotopie-Faser

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Homotopie-Faser einer Abbildung ein nützlicher Begriff der Homotopietheorie.

Definition

Zu jeder stetigen Abbildung topologischer Räume

$f\colon X\to Y$

gibt es eine Homotopie-Äquivalenz $\phi \colon X^{\prime }\to X$, so dass

$f\circ \phi \colon X^{\prime }\to Y$

eine Faserung ist. Die Faser dieser Faserung heißt Homotopie-Faser von $f$. Sie ist nur bis auf Homotopie-Äquivalenz eindeutig bestimmt.

Konstruktion

Inklusionen

Wir betrachten zunächst den einfacheren Fall, dass $\iota \colon X\to Y$ eine injektive Abbildung ist. In diesem Fall kann man $X^{\prime }$ konstruieren als Menge aller Wege in $Y$, die in $X$ enden.

$X^{\prime }=\left\{\sigma \in Y^{I}\colon \sigma (1)\in X\right\}$.

$X$ kann in $X^{\prime }$ als Menge der konstanten Wege eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz $X^{\prime }\to X$. Die Abbildung $\sigma \to \sigma (0)$ definiert eine Faserung $X^{\prime }\to Y$ und für einen festen Punkt $x_{0}\in Y$ ist die Faser $F$ die Menge aller Wege in $Y$, die im festen Basispunkt $x_{0}$ starten und in $X$ enden.

$F=\left\{\sigma \in Y^{I}\colon \sigma (0)=x_{0},\sigma (1)\in X\right\}$

Beispiel

Das Produkt zweier Kreise ist ein Torus, die Einpunktvereinigung der Kreise bildet in den Torus ab.

Als ein Beispiel betrachten wir die Inklusion der Einpunktvereinigung $X\vee Y$ in das Produkt $X\times Y$. Die Homotopie-Faser ist mit der obigen Beschreibung die Vereinigung $PX\times \Omega Y\cup \Omega X\times PY$ entlang des Durchschnitts $\Omega X\times \Omega Y$. (Hier bezeichnet $PX$ den Wegeraum und $\Omega X$ den Schleifenraum.)

Falls $X$ und $Y$ den Homotopietyp von CW-Komplexen haben, ist diese Homotopie-Faser schwach homotopieäquivalent zum Verbund $\Omega X*\Omega Y$ der beiden Schleifenräume.

Allgemeine Abbildungen

Für eine nicht notwendig injektive Abbildung $f\colon X\to Y$ betrachte

$X^{\prime }=\left\{(x,\sigma )\in X\times Y^{I}\colon f(x)=\sigma (1)\right\}$.

$X$ kann in $X^{\prime }$ mittels $x\to (x,\sigma _{x})$ für den jeweils konstanten Weg $\sigma _{x}$ eingebettet werden und man hat dann eine Homotopie-Äquivalenz $X^{\prime }\to X$. Die Abbildung $(x,\sigma )\to \sigma (0)$ definiert eine Faserung $X^{\prime }\to Y$ und für einen festen Punkt $x_{0}\in Y$ ist die Faser

$F=\left\{(x,\sigma )\in X\times Y^{I}\colon \sigma (0)=x_{0},f(x)=\sigma (1)\right\}$

Lange exakte Sequenz

Sei $f\colon X\to Y$ eine stetige Abbildung und $F$ ihre Homotopie-Faser. Dann hat man eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

$\ldots \rightarrow \pi _{n+1}(Y,y)\rightarrow \pi _{n}(F,(x,\sigma _{x}))\rightarrow \pi _{n}(X,x)\rightarrow \pi _{n}(Y,y)\rightarrow \pi _{n-1}(F,(x,\sigma _{x}))\rightarrow \ldots$.

Hier ist $x\in X,y=f(x)$ und $\sigma _{x}\in F$ ist der Weg in $Y$, der konstant $f(x)$ ist.

Aus der Kenntnis der Homotopie-Faser erhält man also Zusammenhänge zwischen den Homotopiegruppen von $X$ und $Y$.

Literatur

• R. Bott, L. Tu: Differential forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1982. (Seite 249–250)