In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, versteht man unter einer Faserung (auch Hurewicz-Faserung, nach dem polnischen Mathematiker Witold Hurewicz) eine stetige Abbildung von topologischen Räumen, welche der Homotopie-Hochhebungseigenschaft bezüglich jedes topologischen Raumes genügt. Faserungen spielen in der Homotopietheorie, einem Untergebiet der algebraischen Topologie, eine große Rolle. Grob gesprochen sind Faserungen Raumpaare mit einer Abbildung untereinander, die zulassen, dass man beliebige Homotopien in den Bildraum entlang der gegebenen Abbildung auf den Urbildraum zurückziehen kann.

DefinitionBearbeiten

Homotopie-HochhebungseigenschaftBearbeiten

Bezeichne   das Einheitsintervall  .

Eine stetige Abbildung von topologischen Räumen   erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für den topologischen Raum  , wenn es für alle stetigen Abbildungen

 

sowie

 ,

sodass das Diagramm

 

kommutiert, eine Abbildung

 

gibt, so dass   und   ist. Dies ist ein Spezialfall der Hochhebungseigenschaft aus der Kategorientheorie.

Hurewicz-FaserungenBearbeiten

Eine Faserung (auch Hurewicz-Faserung) ist eine stetige Abbildung  , die die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle topologischen Räume   erfüllt.

  nennt man Totalraum,   die Basis der Faserung. Das Urbild   eines Punktes   bezeichnet man mit Faser über  .

Falls die Basis   weg-zusammenhängend ist, sind die Fasern über verschiedenen Punkten aus   homotopieäquivalent.

Serre-FaserungenBearbeiten

Eine Serre-Faserung ist eine stetige Abbildung  , die die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe   erfüllt.

Dafür hinreichend (und damit äquivalent) ist, dass sie die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für die Räume   mit   erfüllt.

QuasifaserungenBearbeiten

Eine Quasifaserung ist eine stetige Abbildung  , für die

 

für jedes   und alle   ein Isomorphismus ist.

Falls die Basis wegzusammenhängend ist, sind alle Fasern schwach homotopieäquivalent.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.

BeispieleBearbeiten

  • Sei   ein beliebiger topologischer Raum und sei
 
eine Projektion auf den ersten Faktor, dann ist   eine Faserung.
  • Jede Überlagerung ist eine Faserung.
  • Allgemeiner ist jedes Faserbündel eine Serre-Faserung. In diesem Fall sind die Urbilder verschiedener Punkte nicht nur homotopieäquivalent, sondern sogar homöomorph.
  • Es gibt Beispiele von Faserbündeln, die keine Hurewicz-Faserungen sind. Faserbündel über parakompakten Räumen sind aber immer auch Hurewicz-Faserungen (Satz von Huebsch-Hurewicz).
  • Eine Faserung, die kein Faserbündel sein muss, ist die Wege-Faserung eines topologischen Raumes.

Lange exakte HomotopiesequenzBearbeiten

Für Serre-Faserungen (und auch allgemeiner für Quasifaserungen)   hat man eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen

 .

Hierbei ist   und   die Faser.

Beispiel: die Hopf-Faserung   mit Faser  . Bekanntlich ist   für alle  , daraus folgt   für alle  , insbesondere  .

Homologiegruppen von FaserungenBearbeiten

Die Homologiegruppen von Serre-Faserungen können oft mit Hilfe von Spektralsequenzen berechnet werden.

LiteraturBearbeiten

  • Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. McGraw-Hill, New York NY u. a. 1966 (McGraw-Hill Series in Higher Mathematics).
  • Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf
  • Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf
  • Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf
  • J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.