Schleifenraum

Topologischer Raum

Der Schleifenraum ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, insbesondere der Homotopietheorie.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein punktierter topologischer Raum. Es sei   der Raum aller stetigen Funktionen  , versehen mit kompakt-offenen-Topologie. Der Schleifenraum von   ist der Unterraum

 

mit der Teilraumtopologie.

Die „Punkte“ von   sind also geschlossene Wege   mit Start- und Endpunkt  , sogenannte Schleifen an  . Daraus erklärt sich die Bezeichnung Schleifenraum.

Der Schleifenraum   ist in natürlicher Weise selbst wieder ein punktierter topologischer Raum, als Basispunkt nimmt man die konstante Schleife   für alle  .

Schleifenraum als FunktorBearbeiten

Sind   und   punktierte topologische Räume und ist   eine stetige Abbildung, so ist durch

 

eine stetige Abbildung zwischen den Schleifenräumen erklärt. Ist   ein dritter punktierter topologischer Raum und   stetig, so gilt offenbar

 .

Auf diese Weise erhält man einen Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume.[1]

Homotopien und FundamentalgruppeBearbeiten

Eine Homotopie zwischen zwei Schleifen   ist eine stetige Abbildung

 , so dass
    für alle  
    für alle  
    für alle  

Das stellt man sich so vor, dass die Schleifen   und   durch die   stetig ineinander „deformiert“ werden. Die letzte der genannten Bedingungen stellt sicher, dass die   ebenfalls Schleifen an   sind. Solche Homotopien, die den Basispunkt des punktierten topologischen Raums festhalten, nennt man genauer punktierte Homotopien.

Homotopie zwischen Schleifen ist eine Äquivalenzrelation, die Menge der Äquivalenzklassen von   wird oft mit   bezeichnet. Die Äquivalenzklasse einer Schleife   wird mit   bezeichnet und Homotopieklasse genannt.

Sind zwei Schleifen   gegeben, so kann daraus eine neue Schleife   gebildet, die zuerst   durchläuft und danach  , genauer

 .

Diese Verknüpfung ist mit der Homotopie von Schleifen verträglich, induziert also eine Verknüpfung auf der Menge   der Homotopieklassen:  . Man kann zeigen, dass diese Verknüpfung   zu einer Gruppe macht, die man die Fundamentalgruppe von   nennt[2], neutrales Element ist  , die Homotopieklasse der konstanten Schleife. Der Schleifenraum selbst ist mit der Verknüpfung * keine Gruppe, es ist also notwendig, zu den Homotopieklassen überzugehen.

Beziehung zur EinhängungBearbeiten

Die Einhängung   des punktierten topologischen Raums   ist als Quotientenraum

 

definiert,   sei die Quotientenabbildung, wobei wie üblich das Bild von   als Basispunkt in   genommen wird. Es sei   ein weiterer punktierter topologischer Raum. Zu einer stetigen Abbildung

 

erhält man eine stetige Abbildung

 

und damit eine stetige Abbildung

 .

Da   und   unter   auf den Basispunkt von   abgebildet werden und   Basispunkte erhält, ist  , das heißt   ist tatsächlich ein Element des Schleifenraums  . Wir erhalten somit eine bijektive Abbildung

 

in der Kategorie der punktierten topologischen Räume, diese Abbildung ist mit punktierten Homotopien verträglich, induziert daher eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen. In diesem Sinne sind die Funktoren   und   adjungiert.[3]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space
  2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, Bibliographisches Institut Mannheim (1978), ISBN 3-411-00121-6, Absatz 7.1, Satz 1
  3. Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Abschnitt 4.4: Loop Space