Regulärer Graph

Graphentheorie

In der Graphentheorie heißt ein Graph regulär, falls alle seine Knoten gleich viele Nachbarn haben, also den gleichen Grad besitzen. Bei einem regulären gerichteten Graphen muss weiter die stärkere Bedingung gelten, dass alle Knoten den gleichen Eingangs- und Ausgangsgrad besitzen.[1] Ein regulärer Graph mit Knoten vom Grad k wird k-regulär oder regulärer Graph vom Grad k genannt.

Reguläre Graphen mit einem Grad von höchstens 2 lassen sich leicht klassifizieren: Ein 0-regulärer Graph besteht aus unzusammenhängenden Knoten, ein 1-regulärer Graph besteht aus unzusammenhängenden Kanten, und ein 2-regulärer Graph besteht aus unzusammenhängenden Kreisen.

Ein 3-regulärer Graph wird auch als kubischer Graph bezeichnet.

Ein stark regulärer Graph ist ein regulärer Graph, bei dem je 2 benachbarte Knoten genau a gemeinsame Nachbarn, und je zwei nicht benachbarte Knoten genau b gemeinsame Nachbarn haben. Der kleinste reguläre, aber nicht stark reguläre Graph ist der Kreisgraph und der zirkuläre Graph mit je 6 Knoten.

Der vollständige Graph ist für jedes stark regulär.

Nach einem Satz von Nash-Williams hat jeder k-reguläre Graph mit Knoten einen Hamiltonkreis.

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Sei A die Adjazenzmatrix eines Graphen. Der Graph ist genau dann regulär, wenn   ein Eigenvektor von A ist.[2] Der Eigenwert dieses Vektors ist gleichbedeutend mit dem Grad des Graphen. Eigenvektoren mit anderen Eigenwerten sind orthogonal zu  , d. h. für solche Eigenvektoren   gilt:  .

Ein regulärer Graph vom Grad k ist genau dann zusammenhängend, wenn der Eigenwert k die Vielfachheit eins hat.[2]

KombinatorikBearbeiten

Die Anzahl der zusammenhängenden  -regulären Graphen steigt für gegebenes   im Wesentlichen schneller als exponentiell mit der Anzahl   der Knoten. Wenn   und   ungerade sind, ist diese Anzahl offensichtlich gleich 0.

Die folgende Tabelle zeigt die mit Hilfe eines Computers bestimmten Anzahlen für   und  :[3][4]

Anzahl der zusammenhängenden regulären Graphen
n k
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
6 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0
7 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0
8 5 6 3 1 1 0 0 0 0 0
9 0 16 0 4 0 1 0 0 0 0
10 19 59 60 21 5 1 1 0 0 0
11 0 265 0 266 0 6 0 1 0 0
12 85 1544 7848 7849 1547 94 9 1 1 0
13 0 10778 0 367860 0 10786 0 10 0 1
14 509 88168 3459383 21609300 21609301 3459386 88193 540 13 1
15 0 805491 0 1470293675 0 1470293676 0 805579 0 17
16 4060 8037418 2585136675 113314233808 733351105934 733351105935 113314233813 2585136741 8037796 4207

WeblinksBearbeiten

Commons: Reguläre Graphen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wai-Kai Chen: Graph Theory and its Engineering Applications. World Scientific, 1997, ISBN 978-981-02-1859-1, S. 29.
  2. a b D. M. Cvetković, M. Doob, H. Sachs: Spectra of Graphs: Theory and Applications. 3. überarbeitete Auflage. Wiley, New York 1998.
  3. Folge A068934 in OEIS
  4. Wolfram MathWorld: Regular Graph