Gerichteter Graph

Typ von Graph
Ein gerichteter Graph mit 3 Knoten und 4 gerichteten Kanten (Doppelpfeil entspricht zwei gegenläufigen Pfeilen)

Ein gerichteter Graph oder Digraph (von englisch directed graph) besteht aus

Die Kanten eines gerichteten Graphen sind gerichtete Kanten (englisch directed edge/edges, manchmal auch Bögen). Diese werden häufig als Pfeile dargestellt und können nur in einer Richtung durchlaufen werden. Im Gegensatz dazu sind die Kanten eines ungerichteten Graphen ungeordnete Knotenpaare . Gerichtete Graphen werden dazu benutzt, Objekte und die dazwischenliegenden Verbindungen, beispielsweise von endlichen Automaten, darzustellen.

GrundbegriffeBearbeiten

Ein gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und Schleifen wird einfacher Digraph[2] (auch schlichter Digraph) genannt.

Man sagt, dass eine gerichtete Kante   von   nach   geht. Dabei ist   der Fuß (oder Startknoten) und   der Kopf (oder Endknoten) von  . Weiterhin gilt   als der direkte Nachfolger von   und   als der direkte Vorgänger von  . Falls in einem Graphen von   nach   ein Pfad führt, gilt   als ein Nachfolger von   und   als ein Vorgänger von  . Die Kante   heißt umgedrehte oder invertierte Kante von  .

Ein gerichteter Graph   heißt symmetrisch, falls   zu jeder Kante auch die entsprechende invertierte Kante enthält. Ein ungerichteter Graph lässt sich einfach in einen symmetrischen gerichteten Graphen umwandeln, indem man jede Kante   durch die zwei gerichteten Kanten   und   ersetzt.

Um eine Orientierung eines einfachen ungerichteten Graphen zu erhalten, muss jeder Kante eine Richtung zugewiesen werden. Jeder auf diese Art konstruierte gerichtete Graph wird orientierter Graph genannt. Ein einfach gerichteter Graph darf, im Gegensatz zum orientierten Graphen, zwischen zwei Knoten Kanten in beide Richtungen enthalten.[1][3][4]

Ein gewichteter Digraph ist ein Digraph, dessen Kanten Gewichte zugeordnet werden, wodurch man einen kantengewichteten Graphen erhält. Ein Digraph mit gewichteten Kanten wird in der Graphentheorie als Netzwerk bezeichnet.[5]

Die Adjazenzmatrix eines Digraphen (mit Schleifen und Mehrfachkanten) ist eine ganzzahlige Matrix, deren Zeilen und Spalten den Knoten des Digraphen entsprechen. Ein Eintrag   außerhalb der Hauptdiagonalen gibt die Anzahl der Kanten vom Knoten   zum Knoten   an, und der Eintrag der Hauptdiagonalen   entspricht der Anzahl der Schleifen im Knoten  . Die Adjazenzmatrix eines Digraphen ist bis auf Vertauschung von Zeilen und Spalten eindeutig.

Ein Digraph lässt sich auch durch eine Inzidenzmatrix repräsentieren.

Zusammenhängende gerichtete GraphenBearbeiten

Ein gerichteter Graph   heißt schwach zusammenhängend (oder nur zusammenhängend),[6] falls der unterliegende Graph von  , den man mittels Ersetzung aller gerichteter Kanten durch ungerichtete erhält, ein zusammenhängender Graph ist. Ein gerichteter Graph heißt stark zusammenhängend oder stark, wenn je zwei seiner Knoten gegenseitig erreichbar sind. Ein maximaler stark zusammenhängender Untergraph von   ist eine starke Komponente.

Eingangs- und AusgangsgradBearbeiten

 
Digraph mit Knotenbeschriftung (Eingangs- und Ausgangsgrad).

Die Anzahl der direkten Vorgänger eines Knotens wird Eingangsgrad (auch Innengrad) und die Anzahl der direkten Nachfolger Ausgangsgrad (oder Außengrad) genannt.

Der Eingangsgrad eines Knotens   in einem Graphen   wird mit   und der Außengrad mit   bezeichnet. Ein Knoten mit   wird Quelle und ein Knoten mit   wird Senke genannt. Eine Senke heißt universelle Senke, falls sie eingehende Kanten von jedem anderen Knoten hat, falls also ihr Eingangsgrad gleich   ist.

Für gerichtete Graphen ist die Summe aller Eingangsgrade gleich der Summe aller Ausgangsgrade, und beide gleich der Summe der gerichteten Kanten:

 

Falls für alle Knoten   die Gleichung   gilt, wird der Graph balancierter Digraph genannt.[7][8]

Darstellung von gerichteten GraphenBearbeiten

 
Der im Beispiel behandelte gerichtete Graph

Außer der naiven Darstellung eines gerichteten Graphen durch Angabe der Knoten- und Kantenmenge gibt es noch weitere Darstellungsmöglichkeiten, das sogenannte Kanten bzw. Knotenfeld.

KantenfeldBearbeiten

Ein Kantenfeld ist eine Darstellungsart für gerichtete Graphen nach folgendem Schema:

 ,

wobei   die Anzahl der Knoten,   die Anzahl der Kanten und   die Kanten mit   sind.

KnotenfeldBearbeiten

Ein Knotenfeld ist eine Darstellungsart für gerichtete Graphen mit folgendem Aufbau:

 ,

wobei   die Anzahl der Knoten,   die Anzahl der Kanten und   der Ausgangsgrad des Knotens   sind.

BeispielBearbeiten

Betrachtet man als Beispiel den rechts stehenden gerichteten Graph, so ist das Kantenfeld   und das Knotenfeld  . Die fett gedruckten Zahlen geben den Ausgangsgrad an.

Klassen von gerichteten GraphenBearbeiten

 
Einfach gerichteter azyklischer Graph

Symmetrisch gerichtete Graphen sind gerichtete Graphen, bei denen alle Kanten bidirektional sind, d. h. für jede Kante, die zum Graphen gehört, gehört auch die entsprechende umgekehrte Kante dazu.

Einfache gerichtete Graphen sind gerichtete Graphen ohne Schleifen und ohne Mehrfachkante.

Vollständige gerichtete Graphen sind einfache gerichtete Graphen, bei denen jedes Knotenpaar durch ein symmetrisches Paar gerichteter Kanten verbunden ist. Dies entspricht einem ungerichteten vollständigen Graphen, dessen Kanten durch Paare von gerichteten Kanten ersetzt werden. Daraus folgt, dass ein vollständiger gerichteter Graph symmetrisch ist.

Orientierte Graphen sind gerichtete Graphen ohne bidirektionale Kanten. Daraus folgt, dass ein gerichteter Graph genau dann ein orientierter Graph ist, wenn er keinen 2-Zyklus hat.

Turniergraphen sind orientierte Graphen, die durch Auswahl einer Richtung für jede Kante in ungerichteten vollständigen Graphen erhalten werden.

Ein gerichteter azyklischer Graph oder azyklischer Digraph ist ein gerichteter Graph, der keinen gerichteten Kreis enthält. Spezialfälle gerichteter azyklischer Graphen sind Mehrfachbäume (je zwei gerichtete Pfade des Graphen, die vom selben Startknoten ausgehen, dürfen sich nicht im selben Endknoten treffen), orientierte Bäume oder Polybäume (Orientierung eines ungerichteten azyklischen Graphen) und Wurzelbäume (orientierte Bäume, bei denen alle Kanten des unterliegenden ungerichteten Baumes vom Wurzelknoten wegführen).

Gewichtete gerichtete Graphen oder gerichtete Netzwerke sind einfache gerichtete Graphen mit Gewichten, die ihren Kanten zugewiesen sind, ähnlich wie gewichtete Graphen, die auch als ungerichtete Netzwerke oder gewichtete Netzwerke bezeichnet werden.

Flussnetzwerke sind gewichtete gerichtete Graphen mit zwei speziellen Knoten, der Quelle und der Senke.

Kontrollflussgraphen sind gerichtete Graphen, die in der Informatik zur Darstellung der Pfade verwendet werden, die während der Ausführung eines Computerprogramms durchlaufen werden können.

Signalflussgraphen sind gewichtete gerichtete Graphen, in denen Knoten Systemvariablen darstellen und Kanten funktionale Verbindungen zwischen Knotenpaaren darstellen.

Zustandsübergangsdiagramme sind gerichtete Multigraphen, die endliche Automaten darstellen.

Kommutative Diagramme sind gerichtete Graphen, die in der Kategorientheorie verwendet werden, wobei die Knoten mathematische Objekte und die Kanten mathematische Funktionen darstellen, mit der Eigenschaft, dass alle gerichteten Pfade mit demselben Start- und Endknoten durch Komposition zum gleichen Ergebnis führen.

KombinatorikBearbeiten

Die Anzahl der einfachen gerichteten Graphen mit   Knoten steigt rasant mit der Anzahl der Knoten und ist gleich  . Sie steigt also exponentiell zur Anzahl   der Kanten des vollständigen Graphen  . Wenn die Knoten nicht nummeriert sind, isomorphe Graphen also nicht mitgezählt werden, ist diese Anzahl etwa proportional zu  , weil für die meisten Isomorphieklassen alle   Graphen, die sich durch Permutation der nummerierten Knoten ergeben, verschieden sind. Die folgende Tabelle zeigt die mit Hilfe eines Computers bestimmten Anzahlen für  :[9][10][11]

Anzahl der gerichteten Graphen ohne nummerierte Knoten
n alle zusammenhängend stark zusammenhängend
1 1 1 1
2 3 2 1
3 16 13 5
4 218 199 83
5 9608 9364 5048
6 1540944 1530843 1047008
7 882033440 880471142 705422362
8 1793359192848 1792473955306 1580348371788

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Reinhard Diestel: Graphentheorie. 4. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2010, ISBN 978-3-642-14911-5, S. 28–30 (englisch, 4. elektronische Ausgabe 2010 – Erstausgabe: 1996).
  2. Volker Turau: Algorithmische Graphentheorie. 3. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59057-9, S. 20–24.
  3. Eric W. Weisstein: Oriented Graph. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Graph Orientation. In: MathWorld (englisch).
  5. Reinhard Diestel: Graphentheorie. 4. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2010, ISBN 978-3-642-14911-5, S. 145–168 (englisch, 4. elektronische Ausgabe 2010 – Erstausgabe: 1996).
  6. Bang-Jensen, Gutin: Digraphs: Theory, Algorithms and Applications, 2. Auflage, 2009, S. 20.
  7. Bhavanari Satyanarayana, Kuncham Syam Prasad: Discrete Mathematics and Graph Theory. PHI Learning Pvt. Ltd., 2009, ISBN 978-81-203-3842-5, S. 460.
  8. Richard A. Brualdi: Combinatorial matrix classes. In: Encyclopedia of mathematics and its applications. Band 108. Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-86565-4, S. 51.
  9. Folge A000088 in OEIS
  10. Folge A000088 in OEIS
  11. Folge A035512 in OEIS