Adjazenzmatrix

Matrix zur Repräsentation von Graphen im Computer
Ungerichteter Graph mit 4 Knoten und 3 Kanten.svg
Ungerichteter Graph

ohne Kantengewichte und

ohne Mehrfachkanten

4x4-Adjazenzmatrix zum Graphen

links, mit den 3 Kanten

(1,2), (2, 3) und (2, 4)

die durch 1 gekennzeichnet sind

Eine Adjazenzmatrix (manchmal auch Nachbarschaftsmatrix) eines Graphen ist eine Matrix, die speichert, welche Knoten des Graphen durch eine Kante verbunden sind. Sie besitzt für jeden Knoten eine Zeile und eine Spalte, woraus sich für n Knoten eine -Matrix ergibt. Ein Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte gibt hierbei an, ob eine Kante von dem i-ten zu dem j-ten Knoten führt. Steht an dieser Stelle eine 0, ist keine Kante vorhanden – eine 1 gibt an, dass eine Kante existiert[1], siehe Abbildung rechts.

Es gibt unterschiedliche Varianten, abhängig von der Art des Graphen, z. B. für Mehrfachkanten.

Die Repräsentation eines Graphen als Matrix erlaubt den Einsatz von Methoden der linearen Algebra. Die Anwendung und Untersuchung solcher Methoden bildet ein zentrales Thema in der spektralen Graphentheorie. Es bildet damit eine Schnittstelle zwischen Graphentheorie und linearer Algebra.

VariantenBearbeiten

Die folgenden Definitionen gelten für Graphen  , deren Knoten mit den Zahlen 1 bis n durchgehend nummeriert sind. Je nachdem, ob man einen Graphen mit Kantengewichten oder Mehrfachkanten betrachtet, unterscheidet sich die Definition der Adjazenzmatrix leicht. Hypergraphen sowie kantengewichtete Graphen mit Mehrfachkanten besitzen keine Darstellung als Adjazenzmatrix.

Graphen ohne Kantengewichte, ohne MehrfachkantenBearbeiten

In einem Graphen ohne Kantengewichte und ohne Mehrfachkanten ist die Kantenmenge durch eine Menge 2-Tupeln   gegeben, wobei   und   die Nummern der Anfangs- und der Endknoten der Kanten sind. Handelt es sich um einen ungerichteten Graphen ist   in der Kantenmenge genau dann wenn   in der Kantenmenge ist. Die Adjazenzmatrix ist für ungerichtete Graphen also immer symmetrisch[2]. In diesem Fall genügt es, nur die obere Hälfte der Matrix zu speichern. Es müssen also nur die Matrixelemente   mit   gespeichert werden.[3]

Die Adjazenzmatrix   des Graphen   ist durch seine Einträge definiert als[1]

 

Ein Beispiel für einen ungerichteten Graphen ohne Kantengewichte und ohne Mehrfachkanten ist in der Abbildung oben zu sehen. Daneben ist die dazugehörige, symmetrische Adjazenzmatrix. Selbstkanten, von einem Knoten   zum gleichen Knoten   erkennt man an der entsprechenden 1 auf der Hauptdiagonale.

Graphen ohne Kantengewichte, mit MehrfachkantenBearbeiten

Handelt es sich bei dem Graphen   um einen Multigraphen ohne Kantengewichte, dann wird die Menge seiner Kanten als Multimenge   von Knotenpaaren beschrieben.

Die Adjazenzmatrix   des Graphen   ist durch seine Einträge definiert als

 

Hierbei bezeichnet   die Anzahl aller Kanten, welche die Knoten mit Nummer   und   verbinden.

Graphen mit Kantengewichten, ohne MehrfachkantenBearbeiten

   
Gerichteter Graph

mit Kantengewichten und

ohne Mehrfachkanten

Adjazenzmatrix zum

Graphen links

Für einen kantengewichteten Graph   mit Kantengewicht   ist seine Adjazenzmatrix   über ihre Einträge definiert als

 

Gelegentlich wird anstelle einer   ein   in die Adjazenzmatrix eingetragen. Das bietet sich insbesondere an, wenn die Adjazenzmatrix für Algorithmen genutzt werden soll, für deren Zwecke fehlende Verbindungen als „unendlich teuer“ aufgefasst werden können. Das ist etwa für alle Kürzeste-Wege-Algorithmen der Fall.

EigenschaftenBearbeiten

   
Gerichteter Graph

mit Kantengewichten und

ohne Mehrfachkanten

reduzible Adjazenzmatrix zum

schleifenfreien Graphen links

Einige Eigenschaften eines Graphen lassen sich leicht aus seiner Adjazenzmatrix ermitteln:

  • Ist der Graph ungerichtet, so ist die Adjazenzmatrix symmetrisch.
  • Sind alle Einträge entlang der Hauptdiagonale der Adjazenzmatrix 0, so ist der Graph schleifenfrei, siehe Abbildung.
  • Die Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen ist genau dann irreduzibel, wenn der Graph stark zusammenhängend ist. Analog ist die Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen genau dann irreduzibel, wenn der Graph zusammenhängend ist.
  • Ist   die Adjazenzmatrix eines gerichteten Graphen und ist die Matrix   irreduzibel, so ist der Graph schwach zusammenhängend. Die Matrix   entspricht dann (bis auf Gewichte) der Adjazenzmatrix des dem gerichteten Graphen zu Grunde liegenden ungerichteten Graphen
  • Sind zwei Adjazenzmatrizen gleich, so sind die Graphen isomorph. Isomorphe Graphen können aber verschiedene Adjazenzmatrizen besitzen, denn die Adjazenzmatrix ändert sich, wenn die Knoten umnummeriert werden.[1]
  • Sei für einen ungerichteten und ungewichteten Graphen die zugehörige Inzidenzmatrix   gegeben. Dann gilt  , wo   eine Diagonalmatrix darstellt und   die Transponierte. Für schleifenfreie Graphen ist daher  .
  • Aus der Adjazenzmatrix lässt sich mit Hilfe der Knotengrade die Anzahl aller aufspannenden Bäume für den zugehörigen Graphen bestimmen. Diese beträgt   Stück, wobei   bestimmt ist durch   [4].

VerwendungBearbeiten

Speicherung von Graphen im ComputerBearbeiten

Adjazenzmatrizen können auch zur Speicherung von Graphen im Computer dienen. Sie sind besonders leicht zu implementieren und der Zugriff erfolgt in   (vgl. Landau-Symbole). Allerdings benötigen sie Speicher von  , wobei   die Anzahl der Knoten des Graphen ist. Deshalb wird diese Speicherungsart für Graphen in der Praxis selten genutzt. Wenn allerdings ein Graph im Vergleich zur Anzahl der Knoten nur wenige Kanten besitzt, kann die Adjazenzmatrix als dünnbesetzte Matrix implementiert werden. Alternativ kann man, um nur Nachbarschaftsbeziehungen darzustellen, auch eine Inzidenzmatrix verwenden. Deren Größe hängt direkt von der Anzahl der Kanten ab.

Spektrale GraphentheorieBearbeiten

Adjazenzmatrizen werden auch in der spektralen Graphentheorie verwendet. Hierbei geht es insbesondere darum, mittels der verschiedenen Eigenschaften der Adjazenzmatrix Rückschlüsse auf gewisse Eigenschaften des repräsentierten Graphen zu ziehen.

Konstruktion von Ranking-AlgorithmenBearbeiten

Die Adjazenzmatrix findet auch in der Konstruktion von zahlreichen Ranking-Algorithmen Verwendung wie z. B. dem PageRank-Algorithmus oder dem Konzept der Hubs und Authorities. Beide Methoden werden hauptsächlich auf die Verlinkung von Homepages im Internet angewandt (daher wird die Adjazenzmatrix in diesem Zusammenhang auch oft Linkmatrix genannt), können aber allgemeiner auch als Methoden zur Berechnung der relativen Wichtigkeit eines Knotens in einem Graphen interpretiert werden. Beim PageRank wird z. B. die Adjazenzmatrix schrittweise modifiziert, um eine stochastische Matrix zu gewinnen, welche auch Google-Matrix genannt wird.

Pfadlänge in Graphen berechnenBearbeiten

Ist   ein gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und ohne Kantengewichte und   die dazugehörige Adjazenzmatrix, so lässt sich die Anzahl der Pfade von Knoten   nach Knoten  , welche genau   Kanten enthalten, folgendermaßen bestimmen: berechne   und betrachte den Eintrag in der  -ten Zeile und der  -ten Spalte. Dieser ist die Anzahl der Pfade von   nach  , welche genau   Kanten enthalten.

Der Vektorraum, der von den Spalten der Adjazenzmatrix aufgespannt wird, wird auch Adjazenzraum des Graphen genannt.

BeispielBearbeiten

Betrachte folgende ungewichtete Adjazenzmatrix:

 

Gesucht wird die Anzahl der Pfade von Knoten 2 nach Knoten 3, mit Pfadlänge 3. Dazu muss   berechnet werden:

   

Es gibt also zwei Pfade im Graphen, welche von Knoten 2 nach Knoten 3 gehen und genau 3 Kanten enthalten: Der erste ist 2-1-2-3, der zweite 2-3-4-3.

Erreichbare Knoten ermittelnBearbeiten

Um die Knoten zu ermitteln, die von einem Ausgangsknoten in   Schritten erreichbar sind, summiert man zunächst die ersten   Potenzen einer Adjazenzmatrix inklusive der Einheitsmatrix als nullter Potenz auf. Anschließend ersetzt man alle Elemente ungleich   durch  . So erhält man eine Matrix, die für jeden Knoten angibt, welche Knoten von ihm aus in höchstens   Schritten erreichbar sind.

Ändert sich diese Matrix vom  -ten auf den  -ten Schritt nicht, hat man so die Erreichbarkeitsmatrix des Graphen ermittelt.

BeispielBearbeiten

Es wird weiterhin folgende ungewichtete Adjazenzmatrix betrachtet:

 

Berechnet man   und ersetzt alle Einträge, die nicht 0 sind, durch 1, so ergibt sich die Matrix

 

Analoges Vorgehen mit   liefert  . Die Matrix ändert sich also nicht mehr,   ist daher bereits die Erreichbarkeitsmatrix des Graphen.

Alternativ zur Adjazenzmatrix kann für Entfernungen zwischen Punkten in Graphen auch eine Entfernungstabelle verwenden. Diese hat ebenfalls für jeden Knoten eine Zeile und eine Spalte, enthält aber die Entfernung zwischen 2 Knoten, unabhängig davon ob diese direkt oder über mehrere Kanten verbunden sind.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Gerald Teschl, Susanne Teschl: Mathematik für Informatiker. Band 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra. Korrigierte Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-25782-9, S. 387–389.
  2. Peter Pepper: Programmieren mit Java. Eine grundlegende Einführung für Informatiker und Ingenieure. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-20957-3, S. 304.
  3. Sven Oliver Krumke, Hartmut Noltemeier: Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen. Vieweg +Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0629-1, S. 18–19.
  4. Dieter Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen 1989, S. 84.