Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration über Raumbereiche benötigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens.

In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Maßfaktor gebräuchlich.

Beispiele in 3 DimensionenBearbeiten

  • Kartesische Koordinaten:  
  • Zylinderkoordinaten:  
  • Kugelkoordinaten:  

Berechnung in 3 DimensionenBearbeiten

Das Volumenelement in drei Dimensionen lässt sich nach dem Transformationssatz mit Hilfe der Funktionaldeterminante   berechnen. Die Jacobi-Matrix für die Transformation von den Koordinaten   zu   ist hierbei definiert durch

 

Das Volumenelement ist dann gegeben durch

 

Mathematische DefinitionBearbeiten

Aus mathematischer Sicht ist eine Volumenform auf einer  -dimensionalen Mannigfaltigkeit eine nirgends verschwindende Differentialform vom Grad  . Im Fall einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich eine kanonische Volumenform aus der verwendeten Metrik, die den Wert 1 auf einer positiv orientierten Orthonormalbasis annimmt. Diese wird Riemann'sche Volumenform genannt.

Integration mit VolumenformenBearbeiten

Ist   eine Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit   und   eine integrierbare Funktion, so ist das Integral

 

über lokale Karten wie folgt definiert: Es seien   lokale Koordinaten, so dass

 

positiv orientiert ist. Dann kann man   im Kartengebiet als

 

schreiben; das Integral ist dann das gewöhnliche Lebesgue-Integral von  . Für das Integral über ganz   kann eine Partition der Eins oder eine Zerlegung der Mannigfaltigkeit in disjunkte messbare Teilmengen verwendet werden. Aus dem Transformationssatz ergibt sich, dass diese Definition kartenunabhängig ist.

LiteraturBearbeiten