Volumenintegral

Ein Volumenintegral oder Dreifachintegral ist in der Mathematik ein Spezialfall der mehrdimensionalen Integralrechnung, der vor allem in der Physik Anwendung findet. Es erweitert das Oberflächenintegral auf die Integration über ein beliebiges dreidimensionales Integrationsgebiet, wobei eine Funktion dreimal hintereinander integriert wird, jeweils über eine Richtung eines dreidimensionalen Raumes. Dabei muss es sich jedoch nicht notwendigerweise um ein Volumen eines geometrischen Körpers handeln. Zur vereinfachten Darstellung wird oft nur ein einziges Integralzeichen geschrieben und die Volumenintegration lediglich durch das Volumenelement angedeutet:

,

wobei die zu integrierende Funktion zumindest von drei Variablen für eine (kartesische) Beschreibung im dreidimensionalen Raum abhängt, es sind aber auch höherdimensionale Räume möglich. Beachte, dass hier in zwei Bedeutungen auftritt, einmal im Volumenelement und einmal als Bezeichner für das Volumen, über das integriert wird, das Integrationsgebiet.

BegriffeBearbeiten

Es handelt sich um ein skalares Volumenintegral, wenn der Integrand   und das Volumenelement   skalar sind. Bei einem vektoriellen Integranden, z. B. einem Vektorfeld  , ist auch das Volumenelement   ein Vektor, sodass sich ein vektorielles Volumenintegral ergibt.

Das Integrationsgebiet ist dreidimensional, z. B. ein Integrationsvolumen  . Das Differential des Volumenintegrals, z. B.  , ist ebenso dreidimensional und kann anschaulich als infinitesimales, unendlich kleines Volumen aufgefasst werden. Anschaulich gesprochen summiert das Volumenintegral alle Funktionswerte von   je Volumenelement. In der Physik wird diese Technik benutzt, um zum Beispiel die Masse eines Körpers mit ungleich verteilter Dichte zu berechnen. Setzt man  , ergibt sich das Volumen des Integrationsgebiets selbst.

ParametrisierungBearbeiten

Um ein Volumenintegral zu berechnen, ist meist eine Parametrisierung des Integrationsgebiets nötig. Eine geeignete Substitutionsfunktion zu finden ist nicht trivial. Sie transformiert das Volumenintegral oft von einem Koordinatensystem in ein anderes, um die Berechnung zu vereinfachen oder überhaupt zu ermöglichen. Eine Parametrisierung beschreibt, wie das Integrationsgebiet, das vom Rand   begrenzt ist, bei der Integration durchlaufen wird. Für ein dreidimensionales Integrationsgebiet sind drei Parameter   nötig, um das parametrisierte Volumen zu beschreiben. Da der Integrand ebenso von mindestens drei Variablen abhängt, muss die Parametrisierung eine vektorwertige Funktion sein. Sei   eine solche Parametrisierung, dann lässt sich das (vektorielle) Volumenintegral nach dem Transformationssatz wie folgt transformieren:

 

Auf der rechten Seite der Gleichung tritt die Parametrisierungsfunktion   an die Stelle der Argumente des Integranden. Der Punkt deutet eine Skalarmultiplikation von der zu integrierenden Funktion mit dem (vektoriellen) Volumenelement   an. Das Volumenelement besteht aus einem neuen (parametrisierten) Volumendifferential und einem vektoriellen Faktor. In Anlehnung daran, dass drei Längen miteinander multipliziert ein Volumen ergeben, wird meist einfach

 

gesetzt (entsprechend der Volumenformel eines Quaders). Bei einer numerischen Berechnung könnten auch andere, komplexe Volumenformeln interessant sein.

Der vektorielle Faktor ist das Spatprodukt aller partiellen Ableitungen von  :

 

Generell lassen sich Spatprodukte auch als Determinanten schreiben, so gilt hier:

 

Die aneinandergereihten partiellen Gradienten (  ist eine vektorwertige Funktion) formen gerade die Elemente der 3x3 Jacobi-Matrix. Die zugehörige Jacobi-Determinante, auch als Funktionaldeterminante bezeichnet, berechnet genau den zusätzlichen Faktor für eine Koordinatentransformation.

Ist das Volumenelement skalar, reduziert sich der Faktor auf dessen euklidische Norm  . Nachdem das Volumenintegral parametrisiert ist, kann mit Hilfe des Satzes von Fubini das Integral Schritt für Schritt berechnet werden.

Spezielle Volumenintegrale mit KoordinatentransformationBearbeiten

Kartesische und KugelkoordinatenBearbeiten

Die Umrechnungsformeln für Kugelkoordinaten   ergeben folgende Substitutionsfunktion

 .

Mit dem Berechnen aller partiellen Gradienten von   wird die passende Jacobi-Matrix bestimmt. Deren Determinante ergibt dann

 .

Folglich ergibt sich für das Volumenelement in Kugelkoordinaten

 

Das Volumenintegral lautet dann also

 

Möglich ist auch die umgekehrte Transformation mit der Umkehrfunktion

 .

Mit dem Berechnen aller partiellen Gradienten von   wird die passende Jacobi-Matrix bestimmt. Deren Determinante ergibt dann

 .

Kartesisch zu ZylinderkoordinatenBearbeiten

Die Umrechnungsformeln für Zylinderkoordinaten   ergeben folgende Substitutionsfunktion

 .

Mit dem Berechnen aller partiellen Gradienten von   wird die passende Jacobi-Matrix bestimmt. Deren Determinante ergibt dann

 .

Folglich ergibt sich für das Volumenelement in Zylinderkoordinaten

 

Das Volumenintegral lautet dann also

 

AnwendungBearbeiten

Volumenintegrale finden bei vielen physikalischen Problemen Anwendung. So lassen sich aus allen Dichten bei einer Volumenintegration die jeweils zugrundeliegenden Größen berechnen, beispielsweise die elektrische Ladung aus der Ladungsdichte oder die Masse aus der (Massen-)Dichte. Auch der gaußsche Integralsatz, der insbesondere in der Elektrodynamik wichtig ist, basiert auf einem Volumenintegral. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Geschwindigkeitsbetrags bei der Maxwell-Boltzmann-Verteilung ergibt sich durch Volumenintegration über die Verteilung der einzelnen Richtungen des Geschwindigkeitsvektors – dies ist ein Beispiel für ein Volumenintegral über ein nicht-geometrisches Volumen.

Verwendet man als Integrand die Funktion, die auf dem Integrationvolumen konstant gleich 1 ist, so erhält man eine Formel für das Volumenmaß

 .

BeispieleBearbeiten

Beispiele für den Umgang mit Volumenintegralen finden sich hier:

WeiterführendesBearbeiten

  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2006, ISBN 978-3-8171-2006-2.