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Vektorfeld

Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet
Darstellung eines Vektorfeldes anhand ausgewählter Punkte. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben
3-dimensionales Vektorfeld (-y,z,x)

In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.

Stetige Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der physikalischen Feldtheorie, zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchens einer bewegten Flüssigkeit anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer Kraft, wie der magnetischen oder der Schwerkraft, zu beschreiben. Die Feldgrößen dieser Vektorfelder lassen sich durch Feldlinien veranschaulichen.

Vektorfelder im euklidischen RaumBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Unter einem Vektorfeld   auf einer Menge   versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt   einen Vektor   zuordnet. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge   ein „Pfeil angebracht“. Meist wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das Vektorfeld eine  -Abbildung ist. Ist   eine  -mal differenzierbare Abbildung  , so spricht man von einem  -Vektorfeld.

BeispieleBearbeiten

  • Gradientenfeld: Ist   eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge  , so wird das Gradientenfeld   von   definiert durch die Zuordnung
     .
Oft schreibt man es mit dem Nabla-Symbol:  . Ist ein Vektorfeld   das Gradientenfeld einer Funktion  , das heißt  , so bezeichnet man   als Potential. Man sagt auch   besitzt ein Potential.
Beispiele von Gradientenfeldern sind das von einer Punktquelle nach allen Seiten gleichmäßig fließende Feld einer Strömung und das elektrische Feld um eine Punktladung.
  • Zentralfelder: Sei   ein Intervall, welches die Null enthält, und   eine Kugelschale. Zentralfelder auf der Kugelschale sind definiert durch
  mit  .
  • In   ist das Gravitationsfeld   ein solches Zentralfeld.
  • Weitere Beispiele sind im   die mathematisch diffizileren sogenannten „Wirbelfelder“. Sie lassen sich als Rotation eines Vektorpotentials   beschreiben, nach der Formel   (s. u.).
Prägnantes Beispiel eines Wirbelfeldes ist das in Kreislinien um den Ausfluss einer „Badewanne“ herumwirbelnde Strömungsfeld, oder das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht.

Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder; ZerlegungssatzBearbeiten

Ein mindestens zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld   im   heißt quellenfrei (beziehungsweise wirbelfrei), wenn seine Quellendichte (Divergenz) beziehungsweise Wirbeldichte (Rotation) dort überall Null ist. Unter der weiteren Voraussetzung, dass die Komponenten von   im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, gilt der sogenannte Zerlegungssatz: Jedes Vektorfeld   ist eindeutig durch seine Quellen bzw. Wirbel bestimmt, und zwar gilt die folgende Zerlegung in einen wirbelfreien beziehungsweise quellenfreien Anteil:

 .

Dies entspricht der Zerlegung eines statischen elektromagnetischen Feldes in den elektrischen beziehungsweise magnetischen Anteil (siehe Elektrodynamik)[1]. Es sind also genau die Gradientenfelder (d. h. die „elektrischen Feldkomponenten“) wirbelfrei bzw. genau die Wirbelfelder (d. h. die „magnetischen Feldkomponenten“) quellenfrei. Dabei sind       und   die bekannten, mit dem Nabla-Operator ( ) der Vektoranalysis gebildeten Operationen.

Vektorfelder auf MannigfaltigkeitenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) Schnitt im Tangentialbündel  .

Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Abbildung  , so dass   mit   gilt. Es wird also jedem   ein Vektor   zugeordnet. Die Abbildung   ist die natürliche Projektion   mit  .

AnmerkungenBearbeiten

Diese Definition verallgemeinert die Vektorfelder im euklidischen Raum. Es gilt nämlich   und  .

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein Skalarfeld jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Skalar zugeordnet.

Vektorfelder sind gerade die kontravarianten Tensorfelder erster Stufe.

AnwendungenBearbeiten

Vektor- und Kraftfelder haben außer in Physik und Chemie auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der Technik: Elektrotechnik, Geodäsie, Mechanik, Atomphysik, Angewandte Geophysik.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siehe u. a. U. Krey, A. Owen, Basic Theoretical Physics – A Concise Overview, Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5 , part II