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Divergenz eines Vektorfeldes

Differentialoperator auf ein Vektorfeld

Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung des Punktes auseinanderstreben (lateinisch divergere). Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld einer Größe, für die die Kontinuitätsgleichung gilt, dann ist die Divergenz die Quelldichte. Senken haben negative Divergenz. Ist die Divergenz überall gleich null, so bezeichnet man das Feld als quellenfrei.

Die Divergenz ergibt sich aus dem Vektorfeld durch Anwendung eines Differentialoperators. Verwandte Differentialoperatoren liefern die Rotation eines Vektorfeldes und den Gradienten eines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet ist die Vektoranalysis.

In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen oder der verschiedenen Kontinuitätsgleichungen verwendet. Im Ricci-Kalkül wird die mit Hilfe der kovarianten Ableitung gebildete Größe manchmal etwas ungenau als Divergenz eines Tensors bezeichnet (für diese Größe gilt auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten zum Beispiel nicht der Gaußsche Integralsatz).

Inhaltsverzeichnis

Beispiel aus der PhysikBearbeiten

Man betrachtet zum Beispiel eine ruhige Wasseroberfläche, auf die ein dünner Strahl Öl trifft. Die Bewegung des Öls auf der Oberfläche kann durch ein zweidimensionales (zeitabhängiges) Vektorfeld beschrieben werden: An jedem Punkt ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt die Fließgeschwindigkeit des Öls in Form eines Vektors gegeben. Die Stelle, an der der Strahl auf die Wasseroberfläche trifft, ist eine „Ölquelle“, da von dort Öl wegfließt, ohne dass es einen Zufluss auf der Oberfläche geben würde. Die Divergenz an dieser Stelle ist positiv. Im Gegensatz dazu bezeichnet man eine Stelle, an der das Öl beispielsweise am Rand aus dem Wasserbecken abfließt, als Senke. Die Divergenz an dieser Stelle ist negativ.

DefinitionBearbeiten

Die Divergenz eines differenzierbaren Vektorfeldes   ist ein skalares Feld. Es wird als   oder als   geschrieben. Dabei bezeichnet   den formalen Nabla-Operator und   das Operatorsymbol der Divergenz. Bei der zuerst genannten Schreibweise als Skalarprodukt   ist es wichtig, den Multiplikationspunkt zwischen   und dem Vektorfeld   zu schreiben, da der  -Operator sonst als Gradient der Vektorkomponenten zu verstehen wäre.

Für den Fall eines dreidimensionalen Vektorfeldes   ist die Divergenz in kartesischen Koordinaten definiert als

 

Allgemein gilt für ein  -dimensionales Vektorfeld  :

 

Die Divergenz als „Quellendichte“Bearbeiten

Interpretiert man ein Vektorfeld   als Strömungsfeld, so beschreibt dessen totales Differenzial   ein Beschleunigungsfeld. Ist in einem Punkt   die Beschleunigungsmatrix   diagonalisierbar, so beschreibt jeder Eigenwert   die Beschleunigung in Richtung des zugehörigen Eigenvektors  . Jeder positive Eigenwert beschreibt also die Intensität einer gerichteten Quelle und jeder negative Eigenwert die gerichtete Intensität einer Senke. Addiert man diese Eigenwerte, so erhält man die resultierende Intensität einer Quelle bzw. Senke. Da die Summe der Eigenwerte   gerade die Spur der Beschleunigungsmatrix   ist, wird die Quellenintensität durch

 

gemessen.

Die Divergenz kann in diesem Sinne als „Quellendichte“ interpretiert werden.

Koordinatenfreie DarstellungBearbeiten

Für die Interpretation der Divergenz als „Quellendichte“ ist die folgende koordinatenfreie Definition in der Form einer Volumenableitung wichtig (hier für den Fall n=3)

 

Dabei ist   ein beliebiges Volumen, zum Beispiel eine Kugel oder ein Parallelepiped;   ist sein Inhalt. Es wird über den Rand   dieses Volumenelements integriert,   ist die nach außen gerichtete Normale und   das zugehörige Flächenelement.

Für n > 3 kann diese Aussage leicht verallgemeinert werden, indem man n-dimensionale Volumina und ihre (n-1)-dimensionalen Randflächen betrachtet. Bei Spezialisierung auf infinitesimale Würfel oder Quader erhält man die bekannte Darstellung in kartesischen Koordinaten

 

In orthogonalen krummlinigen Koordinaten, zum Beispiel Kugelkoordinaten oder elliptischen Koordinaten, (also für  , mit  ), wobei   ist, wobei also nicht die  , sondern die   die physikalische Dimension einer „Länge“ haben, gilt dagegen etwas allgemeiner

 

wobei die Punkte am Ende weitere Terme beinhalten, die durch fortgesetzte zyklische Permutationen, erzeugt nach dem Schema   usw., aus dem angeschriebenen folgen.

Herleitung der kartesischen DarstellungBearbeiten

Zur Herleitung der kartesischen Darstellung der Divergenz aus der koordinatenfreien Darstellung betrachte man einen infinitesimalen Würfel  .

 

Nun wendet man den Mittelwertsatz der Integralrechnung an, wobei die gestrichenen Größen   aus dem Intervall   sind.

 

Somit bleibt nur die Summe der Differenzenquotienten übrig

 ,

die im Grenzübergang   zu partiellen Ableitungen werden:

 

Kovariantes Verhalten bei Drehungen und VerschiebungenBearbeiten

Der Divergenz-Operator vertauscht mit räumlichen Drehungen und Verschiebungen eines Vektorfeldes, d. h. die Reihenfolge dieser Operationen macht keinen Unterschied.

Begründung: Wenn das Vektorfeld   im Raum gedreht oder (parallel)verschoben wird, braucht man in der oben gegebenen koordinatenunabhängigen Darstellung nur die Flächen- und Volumenelemente in derselben Weise zu drehen, um wieder auf denselben skalaren Ausdruck zu kommen. Das Skalarfeld   dreht und verschiebt sich also in gleicher Weise wie das Vektorfeld  .

Ein „Zerlegungs-Theorem“Bearbeiten

Für n=3-dimensionale Vektorfelder  , die im ganzen Raum mindestens zweimal stetig differenzierbar sind und im Unendlichen hinreichend rasch gegen null gehen, gilt, dass sie in einen wirbelfreien Teil   und einen quellenfreien Teil   zerfallen,  . Für den wirbelfreien Teil gilt, dass er durch seine Quellendichte wie folgt dargestellt werden kann:

 , mit
 .

Für den quellenfreien Teil,  , gilt analoges, wenn man das skalare Potential   durch ein sog. Vektorpotential   ersetzt und zugleich die Ausdrücke   bzw.   (=Quellendichte von  ) durch die Operationen   bzw.   (=Wirbeldichte von  ) substituiert.

Dieses Verfahren ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

EigenschaftenBearbeiten

Im n-dimensionalen RaumBearbeiten

Sei   eine Konstante,   eine offene Teilmenge,   ein skalares Feld und   zwei Vektorfelder. Dann gelten folgende Regeln:

  • Die Divergenz ist linear, das heißt, es gilt
  und
 
  • Für die Divergenz gilt die Produktregel
 
  • Die Divergenz des Vektorfeldes   entspricht in beliebigen Koordinaten der Spur der kovarianten Ableitung   von  , das heißt es gilt
     .
    Diese Darstellung ist koordinateninvariant, da die Spur einer linearen Abbildung invariant gegenüber einem Basiswechsel ist.

Im dreidimensionalen RaumBearbeiten

Ist  , so gibt es auch eine Produktregel für das Kreuzprodukt  , diese lautet

 

wobei mit   die Rotation gemeint ist. Wegen   für alle differenzierbaren   folgt daraus

 

für beliebige differenzierbare  .

BeispieleBearbeiten

In kartesischen Koordinaten findet man unmittelbar

 

Für das Coulomb-Feld findet man, wenn in der ersten Produktregel  ,     und   gesetzt wird

 

Mit der Formel für die Divergenz in Kugelkoordinaten ist dieses Ergebnis ebenfalls zu erhalten.

Nach dem Korollar sind Felder   des folgenden Typs quellenfrei:

 

Gaußscher IntegralsatzBearbeiten

AussageBearbeiten

Eine wichtige Rolle spielt die Divergenz in der Aussage des Gaußschen Integralsatzes. Er besagt, dass der Durchfluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich dem Integral über die Divergenz des Vektorfeldes im Inneren dieses Volumens ist, und erlaubt damit die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Oberflächenintegral:

 

wobei   der Normalenvektor der Oberfläche   ist. Anschaulich beschreibt er damit für den Fall einer Strömung den Zusammenhang zwischen dem Durchfluss durch diese Fläche und den Strömungsquellen und -senken innerhalb des zugehörigen Volumens.

Punktförmige QuelleBearbeiten

Setzt man im Gaußschen Integralsatz das coulombartige Feld   ein und wählt man als Integrationsfläche   eine Kugelfläche mit Radius   um den Ursprung, so ist   und der Integrand wird konstant gleich  . Weil die Oberfläche der Kugel   ist, folgt

 

Somit liefert der Integralsatz eine Information über  , die im Gegensatz zu den Ableitungsausdrücken (Produktregel oder Kugelkoordinaten) auch den Punkt   einschließt: Das Volumenintegral von   ist  . Dies lässt sich mit dem Ergebnis der Ableitungsrechnung zu einer Distributionsgleichung zusammenfassen:

 

Zylinder- und KugelkoordinatenBearbeiten

In Zylinderkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes  :

 

In Kugelkoordinaten gilt für die Divergenz eines Vektorfeldes  :

 

Letztere Formel kann ohne Differentiation von Basisvektoren hergeleitet werden: Man führt eine Testfunktion   ein und schreibt ein Volumenintegral einmal in kartesischen und einmal in Kugelkoordinaten. Mit bekannten Ausdrücken für Gradient und Volumenelement ergibt das nach Ausmultiplizieren der Basisvektoren

 

Die Ableitungen von   werden partiell integriert, wobei Randterme verschwinden. Auf der rechten Seite muss das Volumenelement mitdifferenziert und danach in zwei Termen wiederhergestellt werden (Erweitern). Das ergibt

 

Aus der Gleichheit der Integrale für alle Testfunktionen folgt, dass die Ausdrücke für die Divergenz gleich sind.

InverseBearbeiten

Nach dem Poincaré-Lemma existiert zu jedem Skalarfeld ein Vektorfeld, dessen Divergenz es ist. Dieses Vektorfeld ist nicht eindeutig bestimmt, denn es kann ein örtlich konstanter Vektor hinzuaddiert werden, ohne die Divergenz und damit das Skalarfeld zu verändern.

Unter gewissen Voraussetzungen existiert ein Rechts- oder Linksinverses der Divergenz. So gibt es für ein offenes und beschränktes Gebiet   mit lipschitzstetigem Rand einen Operator  , so dass für jedes   mit  

 

gilt, wobei   den entsprechenden Sobolew-Raum für   und   bezeichnet.   heißt Bogowskii-Operator.[L 1]

Divergenz auf riemannschen MannigfaltigkeitenBearbeiten

Im Abschnitt Eigenschaften wurde bereits gesagt, dass die Divergenz mit Hilfe der Spur der Jacobimatrix ausgedrückt werden kann und dass diese Darstellung koordinateninvariant ist. Aus diesem Grund verwendet man diese Eigenschaft, um die Divergenz auf riemannschen Mannigfaltigkeiten zu definieren. Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel den Laplace-Operator auf riemannschen Mannigfaltigkeiten koordinatenfrei definieren. Dieser heißt dann Laplace-Beltrami-Operator.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine riemannsche Mannigfaltigkeit und   ein  -Vektorfeld mit  . Dann ist die Divergenz durch

 

definiert. Dabei ist   ein Vektorfeld und der Operator   ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der den Nabla-Operator verallgemeinert. Wertet man   an   aus, so ist   und man kann für alle   die aus der linearen Algebra bekannte Spur bilden.[L 2]

Transportsatz und geometrische InterpretationBearbeiten

Für den Fluss   eines Vektorfeldes   gilt der Transportsatz[L 3]

 

Dabei ist   das Riemann-Lebesguesche Volumenmaß auf der Mannigfaltigkeit,   eine relativ-kompakte messbare Teilmenge und   eine glatte Funktion. Interpretiert man   als Dichte einer Erhaltungsgröße, dann folgt daraus die Kontinuitätsgleichung. Für   erhält man

 

Die Divergenz ist also die Dichte der Volumenänderungsrate bezüglich des Flusses. Die Divergenz in einem Punkt gibt an, wie schnell sich der Inhalt eines infinitesimalen Volumenelements in diesem Punkt ändert, wenn es sich mit dem Fluss bewegt. Als Folgerung ergibt sich, dass ein Vektorfeld genau dann divergenzfrei ist, wenn der erzeugte Fluss volumenerhaltend ist.

Divergenz von Tensoren zweiter StufeBearbeiten

In den Ingenieurwissenschaften wird die Divergenz in kartesischen Koordinaten auch für Tensoren zweiter Stufe eingeführt und liefert dann Vektorfelder.[1] Zum Beispiel geht die Divergenz des Spannungstensors in die lokalen Impulsbilanzen der Kontinuumsmechanik ein.

DefinitionBearbeiten

Tensoren zweiter Stufe werden mit dem dyadischen Produkt “ von Vektoren gebildet, auf die die Divergenz angewendet werden kann. Auf diese Weise kann die Divergenz auch auf Tensoren verallgemeinert werden. Sei

 

ein Tensor mit Spaltenvektoren   mit Komponenten Tij bezüglich der Standardbasis   des n-dimensionalen Raumes. Dann kann die Divergenz des Tensors definiert werden als:

 

In drei Dimensionen ergibt sich in einem kartesischen Koordinatensystem mit x-, y- und z-Koordinaten:

 

Mit dem Nabla-Operator schreibt sich die Divergenz eines Tensors:

 

In der Literatur kommt jedoch auch die transponierte Version mit den Zeilenvektoren   vor

 

die sich also durch die Transposition des Argumentes von der hiesigen Definition unterscheidet.

ExpansionsrateBearbeiten

 
Urbildraum V, der durch die Bewegungsfunktion χ in den Bildraum v transformiert wird

Die Divergenz eines Vektorfeldes   lautet in diesem Formalismus:

 

Ist speziell   das Geschwindigkeitsfeld einer Bewegung   (Bildraum) von Punkten   aus einem zeitunabhängigen Volumen V (Urbildraum), siehe Bild, dann ist der Gradient des Vektorfeldes der Geschwindigkeitsgradient l

 

der mit der Zeitableitung des Deformationsgradienten F und seiner Inversen zusammenhängt. Die Determinante des Deformationsgradienten transformiert die Volumenformen (rot im Bild) ineinander:

 

Zeitableitung dieser Gleichung ergibt mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ (siehe Ableitungen der Hauptinvarianten)

 

denn die Volumenform im Urbildraum ist nicht von der Zeit abhängig. Wenn die Divergenz verschwindet, dann ist die Bewegung lokal volumenerhaltend. Eine positive Divergenz bedeutet Expansion, was in der Realität mit einer Abnahme der Dichte einhergeht.

EigenschaftenBearbeiten

Im n-dimensionalen RaumBearbeiten

Sei   eine Konstante,   eine offene Teilmenge,   ein skalares Feld,   zwei Vektorfelder und T ein tensorielles Feld. Dann gelten folgende Regeln:

 

Darin ist   das Frobenius-Skalarprodukt für Vektoren bzw. Tensoren und eine Ableitung nach der Koordinate xi in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren   wird mit einem Index ,i abgekürzt, über den des Weiteren von eins bis drei zu summieren ist (Einsteinsche Summenkonvention).

Im dreidimensionalen RaumBearbeiten

Für die Herleitung des zweiten Cauchy-Euler’schen Bewegungsgesetzes, das die Erhaltung des Drehimpulses in einem Kontinuum sicherstellt, wird die Produktregel

 

gebraucht.[Beweis 1] Darin sind   ein vektorielles und T ein tensorielles, differenzierbares Feld und das Produkt „·×“ ist über Dyaden definiert durch  

Gaußscher IntegralsatzBearbeiten

Dieser Integralsatz wird in der Kontinuumsmechanik auch für Tensorfelder, z. B. von Spannungstensoren  , benötigt:

 

Der vom transponierten Spannungstensor transformierte Normalenvektor an die Fläche ist nach dem Cauchy’schen Fundamentaltheorem der auf der Fläche wirkende Spannungsvektor   (ein Vektor mit der Dimension Kraft pro Fläche). Diese Gleichung ist im Fall ihres Verschwindens bereits die Impulsbilanz deformierbarer Körper im statischen Fall in Abwesenheit einer Volumenkraft.

Zylinder- und KugelkoordinatenBearbeiten

Für Tensoren zweiter Stufe ergibt eine Transformation in Zylinderkoordinaten

 

und in Kugelkoordinaten:

 

FußnotenBearbeiten

  1. Mit   unter Anwendung der Einstein’schen Summenkonvention und der Abkürzung „,i“ für eine Ableitung nach der Koordinate xi in einem kartesischen Koordinatensystem mit Basisvektoren   berechnet sich schrittweise
     
    und damit:
     

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X
  2. Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, 1984, 2. Ausgabe ISBN 978-0-12-170640-1, Seite 3.
  3. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 2. Auflage. Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 438 (Kapitel XII).

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten