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Der Hodge-Stern-Operator oder kurz Hodge-Operator ist ein Objekt aus der Differentialgeometrie. Er wurde von dem britischen Mathematiker William Vallance Douglas Hodge eingeführt. Der Operator ist ein Isomorphismus, welcher auf der äußeren Algebra eines endlichdimensionalen Prähilbertraums operiert oder allgemeiner auf dem Raum der Differentialformen.

MotivationBearbeiten

Sei   eine n-dimensionale, glatte Mannigfaltigkeit und sei   die  -te äußere Potenz des Kotangentialraums. Für alle   mit   haben die Vektorräume   und   dieselbe Dimension und sind deshalb isomorph. Hat   nun zusätzlich noch die Struktur einer orientierten, semiriemannschen Mannigfaltigkeit, so kann man beweisen, dass sich diese Isomorphie natürlich konstruieren lässt. Das heißt, es existiert ein Isomorphismus zwischen den Räumen, der invariant unter die semiriemannsche Metrik und die Orientierung erhaltenden Diffeomorphismen ist. Die Verallgemeinerung dieses Isomorphismus auf das Tangentialbündel heißt Hodge-Stern-Operator.

DefinitionBearbeiten

Da der Raum   aus der obigen Motivation ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, wird hier mit der Definition des Hodge-Stern-Operators auf Vektorräumen begonnen.

Hodge-Stern-Operator auf VektorräumenBearbeiten

Sei   ein  -dimensionaler orientierter Vektorraum mit Skalarprodukt und   sein Dualraum. Für   bezeichnet   die  -te äußere Potenz von  , den Vektorraum der alternierenden Multilinearformen der Stufe   über  .

Der Hodge-Stern-Operator

 

wird durch die folgende Bedingung eindeutig festgelegt: Ist   eine positiv orientierte Orthonormalbasis von   und   die dazu duale Basis von  , so ist

 

Es genügt nicht, diese Bedingung für eine einzige Orthonormalbasis zu fordern. Man braucht sie aber auch nicht für jede positiv orientierte Orthonormalbasis zu fordern. Es genügt, alle geraden Permutationen einer einzelnen Basis zu betrachten: Ist   eine positiv orientierte Orthonormalbasis von   und   die dazu duale Basis von  , so wird der Hodge-Stern-Operator eindeutig bestimmt durch die Bedingung

 

für jede gerade Permutation   von  .

Für eine Orthogonalbasis, die keine Orthonormalbasis sein muss, gilt allgemeiner

 

und

 .

Dabei ist  , wenn   positiv orientiert ist und  , wenn   negativ orientiert ist. Die Formel gilt insbesondere für leere Produkte, für eine Orthonormalbasis ist also

 ,
 .

Globaler Hodge-Stern-OperatorBearbeiten

Nach dieser Vorarbeit kann man den Hodge-Stern-Operator auf die äußere Algebra des Kotangentialbündels   übertragen. Wie in der Motivation sei   wieder eine orientierbare, glatte riemannsche Mannigfaltigkeit. Außerdem definiere   als den Raum der Schnitte im Vektorbündel  . Der Raum   ist also der Raum der Differentialformen  -ten Grades auf  . Da   ein Vektorbündel ist und somit in jedem Punkt   ein Vektorraum ist, wird der Hodge-Stern-Operator punktweise definiert.

Der Hodge-Stern-Operator ist ein Isomorphismus

 

so dass für jeden Punkt  

 

gilt. Die Differentialform  , ausgewertet an der Stelle  , ist wieder ein Element eines Vektorraums, und damit greift obige Definition für Vektorräume. In dieser Definition wurde impliziert, dass die Form   wieder eine glatte Differentialform ist. Dies jedoch ist nicht klar und bedarf eines Beweises.

BeispieleBearbeiten

Betrachtet man den dreidimensionalen euklidischen Raum   als riemannsche Mannigfaltigkeit mit der euklidischen Metrik und der üblichen Orientierung, so kann man unter diesen Voraussetzungen den Hodge-Stern-Operator anwenden. Sei   die orientierte Standardbasis von   und   die entsprechende duale Basis. Die Elemente   können dann als Differentialformen verstanden werden. Für den Hodge-Stern-Operator   gilt dann

 

Unter diesen Voraussetzungen wird der Hodge-Stern-Operator implizit in der Vektoranalysis beim Kreuzprodukt und dem davon abgeleiteten Rotations-Operator verwendet. Dies wird im Artikel Äußere Algebra erläutert.

Eigenschaften des Hodge-Stern-OperatorsBearbeiten

Sei   eine orientierte, glatte, riemannsche Mannigfaltigkeit, seien  ,  , und sei   eine Riemannsche Metrik. Dann hat der Hodge-Stern-Operator folgende Eigenschaften:

  1.   (Linearität),
  2.   (Bijektivität),
  3.  
  4.  
  5.   (Isometrie).

Riemannsche VolumenformBearbeiten

Sei   eine glatte, orientierte, riemannsche Mannigfaltigkeit. Fasst man dann   als konstante Einsfunktion auf, so ist die riemannsche Volumenform definiert als  . Diese Volumenform ist wichtiger Bestandteil der Integration mit Differentialformen. Das soll an einem einfachen Beispiel illustriert werden. Sei dafür   eine kompakte Teilmenge. Für das Volumen von U gilt  . Fasst man nun   als eine Mannigfaltigkeit und   als eine darin enthaltene kompakte Teilmenge auf, so ist das Volumen in diesem Fall definiert als

 

Die Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten beinhaltet also auch die Integration auf reellen Teilmengen. Nach diesem Prinzip kann man auch Funktionen auf Mannigfaltigkeiten integrieren, indem man diese mit der Volumenform multipliziert.

LiteraturBearbeiten

  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-96790-7.
  • S. Morita: Geometry of Differential Forms. American Mathematical Society, ISBN 0-821-81045-6.