Elliptische Koordinaten

darin wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt.[1] Allgemeiner existieren auch verschiedene Erweiterungen elliptischer Koordinaten zu 3-dimensionalen Koordinaten.

Elliptische Koordinaten in der Ebene für c = 1. Die numerische Exzentrizität ist hier mit e bezeichnet.

Ebene elliptische KoordinatenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen   und   auf der  -Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten   hat dann die kartesischen Koordinaten

 

mit   und  . Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

 

TransformationenBearbeiten

Zur Transformation von elliptischen in kartesische Koordinaten   werden ganz einfach die obigen Beziehungen verwendet.

Um die inverse Transformation   durchzuführen, muss man die prinzipielle Idee dieser Koordinaten zu Hilfe nehmen. Diese besagt, dass der Punkt   sowohl auf einer Ellipse als auch auf einer konfokalen Hyperbel liegen muss. Diese besitzen Halbachsen wie im unteren Abschnitt angegeben. Mithilfe der Ellipsen- und Hyperbelgleichung in kartesischen Koordinaten in Hauptlage folgt daraus:

 
 

Diese Gleichungen werden durch die oben angegebenen kartesischen Darstellungen erfüllt.

Hieraus lassen sich unter Verwendung der elementaren Beziehungen der trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

 
 

folgende Transformationsvorschriften ableiten:

 
 

mit der schreibvereinfachenden Substitution  .

Weitere Transformationen wie beispielsweise von ebenen Polarkoordinaten auf elliptische Koordinaten lassen sich durch einen Zwischenschritt über kartesische Koordinaten durchführen.

EigenschaftenBearbeiten

Die  -Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die  -Koordinatenlinien Ellipsen. Für   ist die  -Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für   ist die  -Koordinatenlinie zur Halbgeraden   auf der  -Achse entartet, für   zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen  -Achse. Für   und   ist die  -Koordinatenlinie die positive bzw. die negative  -Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität  . Die Ellipsen, auf denen   konstant ist, haben die große Halbachse  , die kleine Halbachse   und numerische Exzentrizität  . Die Hyperbeln, auf denen   konstant ist, haben die reelle Halbachse  , die imaginäre Halbachse   und numerische Exzentrizität  .

Die Darstellung in dieser Koordinatenform ist nur möglich, weil Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus bzw. Cosinus und Sinus die Beziehungen zwischen großer und kleiner Halbachse ( ) bei Ellipsen bzw. realer und imaginärer Halbachse bei Hyperbeln ( ) trivial erfüllen.

Verallgemeinerung auf drei DimensionenBearbeiten

Elliptischen Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden.

  1. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische  -Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt.
  2. Zwei weitere räumliche Fortsetzungen entstehen durch Rotation der ebenen elliptischen Koordinaten um die große Achse der Ellipsen (prolate spheroidal coordinates) bzw. der kleinen Achse (Oblate spheroidal coordinates)
  3. Die formale Fortsetzung des Konzepts der konfokalen Ellipsen und Hyperbeln führt auf die räumlichen elliptischen Koordinaten, die konfokale Quadriken (Ellipsoide, ein- und zweischalige Hyperboloide) verwenden.[2]

AnwendungenBearbeiten

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2+-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung komplett separiert, aber dennoch nicht analytisch gelöst werden, da die Separationskonstante und die Energie jeweils explizit in zwei der separierten Differentialgleichungen auftreten.

LiteraturBearbeiten

  • D.D. Sokolov: Elliptic coordinates. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. George Salmon: Analytische Geometrie der Kegelschnitte. Band 1. B. G. Teubner, Leipzig/Berlin 1915, DNB 367816768, S. 422.
  2. F. Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642886744, S. 19.