Helmholtz-Theorem

mathematischer Satz

Das Helmholtz-Theorem, auch Helmholtz-Zerlegung, Stokes-Helmholtz-Zerlegung[1] oder Fundamentalsatz der Vektoranalysis, (nach Hermann von Helmholtz) besagt, dass für gewisse Gebiete der -Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.

DefinitionenBearbeiten

Für ein Gebiet   wird   der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei   der Raum der Testfunktionen ist und   die  -Norm bezeichnet. Die Zerlegung

 

mit   wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion   mit  , die sog. Helmholtz-Projektion.

Ist   der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit  -Rand oder ein Außenraum mit  -Rand, so existiert die Zerlegung. Für   existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit  -Rand.[2]

Hat   einen  -Rand, gilt  , wobei   die äußere Normale ist.

Mathematische AnwendungBearbeiten

In der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung

 

für  . Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich   und  , gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.

Der Operator   wird Stokes-Operator genannt.

Physikalische BetrachtungBearbeiten

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld   als Superposition eines rotationsfreien (wirbelfreien) Feldes   und eines divergenzfreien (quellenfreien) Feldes   darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential   darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential  .

 

und

 

dann folgt

 

und

 

Es ist also möglich das Vektorfeld   durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale   und   auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

 

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld   gewinnen:

 
 

Wobei   das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds   dass es für   schneller als   gegen   geht, also  . Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

RedundanzBearbeiten

Während das ursprüngliche Vektorfeld an jedem Punkt von   durch   Komponenten zu beschreiben ist, sind für das skalare und das Vektorpotential zusammen   Komponenten nötig. Diese Redundanz lässt sich für   beseitigen, indem der quellfreie Anteil des Vektorfeldes der toroidal-poloidalen Zerlegung unterworfen wird, wodurch letztlich insgesamt drei Skalarpotentiale zur Beschreibung ausreichen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 37 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X