Hessesche Normalform

Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung

Die hessesche Normalform, Hesse-Normalform oder hessesche Normalenform ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Die hessesche Normalform dient häufig dazu, den Abstand eines Punktes zu einer Geraden (im ) oder einer Ebene (im ) zu berechnen. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse benannt.

Hessesche Normalform einer GeradengleichungBearbeiten

 
Hessesche Normalform der Geradengleichung  

VektorformBearbeiten

In der hesseschen Normalform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene durch einen normierten Normalenvektor   (Normaleneinheitsvektor) der Geraden, sowie ihren Abstand   vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

erfüllen. Hierbei bezeichnet   das Skalarprodukt.

Der Normalenvektor ist ein Vektor, der orthogonal zu der Geraden ist, d. h. einen rechten Winkel mit ihr bildet.

Als Normaleneinheitsvektor muss er die Länge   besitzen und er muss vom Koordinatenursprung in Richtung der Geraden zeigen, es muss also   gelten.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Geraden implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Geradenpunkts und dem Normalenvektor der Geraden gleich dem Abstand der Geraden vom Ursprung ist. Ein Punkt, dessen Ortsvektor   die Gleichung nicht erfüllt, liegt für   auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, und ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der negativen Seite der Gerade, sofern sie keine Ursprungsgerade ist.

BeispielBearbeiten

Ist   ein Normaleneinheitsvektor einer Geraden und   der Abstand der Geraden vom Ursprung, so erhält man die Normalform

 .

Jede Wahl von  , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht dann einem Geradenpunkt.

BerechnungBearbeiten

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor   und Normalenvektor   lässt sich ein normierter und vorzeichenbehafteter Normalenvektor der Geraden durch

 

bestimmen. Der Abstand der Geraden vom Ursprung kann dann durch

 

ermittelt werden. Dieser Abstand entspricht gerade der Länge der Orthogonalprojektion des Vektors   auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor  .

Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Parameterform und der Zweipunkteform, wird zunächst die zugehörige Normalenform der Geraden ermittelt (siehe Berechnung der Normalenform) und daraus dann die hessesche Normalform.

AbstandsberechnungBearbeiten

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts   in der Ebene von einer Geraden   einfach dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor   des Punkts in die Geradengleichung eingesetzt wird:

 .

Dieser Abstand ist vorzeichenbehaftet: für   liegt der Punkt   auf derjenigen Seite der Gerade, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Alternativ kann man den absoluten Betrag verwenden:

 

oder sogar den (nicht normierten) Normalenvektor benutzen:

 

KoordinatenformBearbeiten

Die allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung ist

 .

Dividiert man diese Gleichung durch  , erhält man die Hessesche Normalform der Koordinatengleichung:

 .

Eigenschaften:

Der Abstand eines Punktes   von der Gerade ist

 , speziell:  .
  ist ein Einheitsnormalenvektor der Gerade.

Ist die Geradengleichung in expliziter Form  , so ist  .
Die zur y-Achse parallele Gerade mit der Gleichung   hat die Hessesche Normalform  .

Hessesche Normalform einer EbenengleichungBearbeiten

 
Hessesche Normalform einer Ebenengleichung

DarstellungBearbeiten

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der hesseschen Normalform durch einen normierten und (möglicherweise mit einem Vorzeichen versehenen) Normalenvektor   der Ebene sowie ihren Abstand   vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

erfüllen. Der Normalenvektor ist hier ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Der Normalenvektor muss wiederum die Länge   besitzen und vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene zeigen, es muss also   gelten.

In der hesseschen Normalform werden demnach die Punkte der Ebene implizit dadurch definiert, dass das Skalarprodukt aus dem Ortsvektor eines Ebenenpunkts und dem Normalenvektor der Ebene gleich dem Abstand der Ebene vom Ursprung ist. Wiederum liegt ein Punkt, dessen Ortsvektor   die Gleichung erfüllt, auf der Ebene. Gilt  , dann liegt der Punkt auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite. Der Koordinatenursprung befindet sich immer auf der negativen Seite der Ebene, sofern sie keine Ursprungsebene ist.

BeispielBearbeiten

Ist beispielsweise ein normierter Normalenvektor einer gegebenen Ebene   und der Abstand der Ebene vom Ursprung  , so erhält man als Ebenengleichung

 .

Jede Wahl von  , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise   oder  , entspricht dann einem Ebenenpunkt.

BerechnungBearbeiten

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor   und Normalenvektor   lässt sich ein normierter und vorzeichenbehafteter Normalenvektor der Ebene wie im zweidimensionalen Fall durch

 

bestimmen. Der Abstand der Ebene vom Ursprung kann dann durch

 

ermittelt werden. Dieser Abstand entspricht wiederum der Länge der Orthogonalprojektion des Vektors   auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor  .

Aus den weiteren Formen von Ebenengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Parameterform und der Dreipunkteform, wird zunächst die zugehörige Normalenform der Ebene ermittelt (siehe Berechnung der Normalenform) und daraus dann die hessesche Normalform.

AbstandBearbeiten

Mit Hilfe der hesseschen Normalform kann der Abstand eines beliebigen Punkts   im Raum von einer Ebene   wiederum dadurch berechnet werden, dass der Ortsvektor   des Punkts in die Ebenengleichung eingesetzt wird:

 .

Dieser Abstand ist wieder vorzeichenbehaftet: für   liegt der Punkt   auf derjenigen Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt, ansonsten auf der anderen Seite.

Alternative Formulierung mit einem StützvektorBearbeiten

Obwohl häufig die Abstandsberechnung mithilfe der hesseschen Normalform mithilfe eines Abstandes   zum Koordinatenursprung gelehrt wird, wird gelegentlich auf eine ähnliche hessesche Normalenform mit Stützvektor zurückgegriffen.[1]

Die hessesche Normalenform einer Ebene lautet dann:

 ,

wobei   ein Stützvektor der Ebene ist.

AbstandsformelBearbeiten

Daraus ergibt sich dann die Abstandsformel für einen Punkt Q mit dem Ortsvektor   von der Ebene   mit den Stützvektor   und dem Normaleneinheitsvektor  

 .

Verallgemeinerung für HyperebenenBearbeiten

Allgemein wird durch die hessesche Normalform eine Hyperebene im  -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Im  -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Hyperebene entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren   die Gleichung

 

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit  -komponentigen statt mit zwei- oder dreikomponentigen Vektoren gerechnet. Eine Hyperebene teilt den  -dimensionalen Raum in zwei Teile, die Halbräume genannt werden. Ein Punkt, dessen Ortsvektor   die Gleichung erfüllt, liegt genau auf der Hyperebene. Gilt  , dann liegt der Punkt in demjenigen Halbraum, in den der Normalenvektor zeigt, ansonsten in dem anderen.

GeschichteBearbeiten

 
Hessesche Normalform: Winkel

O. Hesse führte 1865 in seinem Buch Analytische Geometrie neben der allgemeinen Form   einer Geradengleichung die Normalform

 

ein. Dabei sind   die Winkel der Normalen durch den Nullpunkt gegenüber den Koordinatenachsen und   der Abstand der Gerade vom Nullpunkt. Da   ist, schreibt man heute

 

Analog ist die Normalform einer Ebene erklärt.

Hesse zeigt die wichtige geometrische Eigenschaft der Normalform: Man kann mit ihr auf einfache Weise den Abstand eines Punktes von einer Gerade/Ebene bestimmen.

Diese vorteilhafte Art eine Gerade oder Ebene zu beschreiben wurde später von Autoren übernommen und als Hessesche Normalform bezeichnet[2].

In Hesse's Buch ist auch die übliche Umrechnung der allgemeinen Form in die Normalform durch Multiplikation mit dem Faktor   enthalten.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Anton Bigalke, Norbert Köhler (Hrsg.): Mathematik. Gymnasiale Oberstufe Berlin Grundkurs ma-3. Cornelsen Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-06-040003-4, S. 137.
  2. M. Koecher, A. Krieg: Ebene Geometrie, Springer-Verlag, 2007, ISBN 354049328X, 9783540493280, S. 114.