Johnson-Körper

Klasse geometrischer Körper

Die Johnson-Körper sind eine Klasse geometrischer Körper.

EigenschaftenBearbeiten

Johnson-Körper sind streng konvexe Polyeder, die ausschließlich aus regelmäßigen Vielecken aufgebaut sind, aber weder platonische Körper, archimedische Körper, Prismen noch Antiprismen sind. Gemeinsam mit den catalanischen Körpern ist, dass die Ecken eines Johnson-Körpers nicht identisch sind. Eine Besonderheit unter den Johnson-Körpern ist das Pseudo-Rhombenkuboktaeder (J37), dessen Ecken zwar lokal uniform sind, aber nicht global.

1966 veröffentlichte Norman Johnson eine Liste von 92 derartigen Polyedern; seine Annahme, dass sie vollständig ist,[1] wurde 1969 von Wictor Salgaller bewiesen.[2]

ListeBearbeiten

Johnson-Körper werden oft mit   bezeichnet, wobei   die Nummer des Körpers in der folgenden Liste ist. Beispielsweise ist die Dreieckskuppel  .

In der folgenden Liste ist   die Anzahl der Ecken,   die Anzahl der Kanten,   die Anzahl der  -eckigen Flächen und   die Anzahl aller Flächen des jeweiligen Körpers.

Pyramiden, Kuppeln und RotundenBearbeiten

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
01 Quadratpyramide     Pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
02 Fünfeckpyramide     6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
03 Dreieckskuppel     Kuppel 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
04 Quadratkuppel     12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
05 Fünfeckskuppel     15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
06 Fünfecksrotunde     Rotunde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

Modifizierte PyramidenBearbeiten

Jn Name Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 Symmetrie
07 verlängerte Dreieckpyramide     verlängerte Pyramide 7 12 7 4 3 0 C3v
08 verlängerte Quadratpyramide
(gleichzeitig erweitertes Hexaeder
bzw. Quadratprisma)
    9 16 9 4 5 0 C4v
09 verlängerte Fünfeckpyramide     11 20 11 5 5 1 C5v
10 verdreht verlängerte Quadratpyramide     verdreht verlängerte
Pyramide
9 20 13 12 1 0 C4v
11 verdreht verlängerte Fünfeckpyramide
(beschnittenes Ikosaeder)
    11 25 16 15 0 1 C5v
12 Dreiecksbipyramide     Bipyramide 5 9 6 6 0 0 D3h
13 Fünfecksbipyramide     7 15 10 10 0 0 D5h
14 verlängerte Dreiecksbipyramide     verlängerte Bipyramide 8 15 9 6 3 0 D3h
15 verlängerte Quadratbipyramide
(gleichzeitig zweifach erweitertes
Hexaeder bzw. Quadratprisma)
    10 20 12 8 4 0 D4h
16 verlängerte Fünfecksbipyramide     12 25 15 10 5 0 D5h
17 verdreht verlängerte Quadratbipyramide     verdreht verlängerte
Bipyramide
10 24 16 16 0 0 D4d

Modifizierte Kuppeln und RotundenBearbeiten

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
18 verlängerte Dreieckskuppel     verlängerte Kuppel 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 verlängerte Quadratkuppel

(Beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder)

    20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 verlängerte Fünfeckskuppel     25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 verlängerte Fünfecksrotunde     verlängerte Rotunde 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 verdreht verlängerte Dreieckskuppel     verdreht verlängerte

Kuppel

15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 verdreht verlängerte Quadratkuppel     20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 verdreht verlängerte Fünfeckskuppel     25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 verdreht verlängerte Fünfecksrotunde     verdreht verlängerte

Rotunde

30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 verdrehter Doppelkeil     Doppelkuppel 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 Dreiecksdoppelkuppel

(verdrehtes Kuboktaeder, Disheptaeder)

    12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 Quadratdoppelkuppel     16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 verdrehte Quadratdoppelkuppel     16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 Fünfecksdoppelkuppel     20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 verdrehte Fünfecksdoppelkuppel     20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 Fünfeckskuppelrotunde     Kuppelrotunde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 verdrehte Fünfeckskuppelrotunde     25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 Fünfecksdoppelrotunde

(verdrehtes Ikosidodekaeder)

    Doppelrotunde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 D5h
35 verlängerte Dreiecksdoppelkuppel     verlängerte

Doppelkuppel

18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel     18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel

(verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)

    24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4d
38 verlängerte Fünfecksdoppelkuppel     30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel     30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5d
40 verlängerte Fünfeckskuppelrotunde     verlängerte

Kuppelrotunde

35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde     35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 verlängerte Fünfecksdoppelrotunde     verlängerte

Doppelrotunde

40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde     40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5d
44 verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel     verdreht verlängerte

Doppelkuppel

18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3
45 verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel     24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4
46 verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel     30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5
47 verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde     verdreht verlängerte

Kuppelrotunde

35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5
48 verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde     verdreht verlängerte

Doppelrotunde

40 90 52 40 0 12 0 0 0 D5

Erweiterte PrismenBearbeiten

Jn Körper Abbildung Netz E K F F3 F4 F5 F6 Symmetrie
49 erweitertes Dreiecksprisma     7 13 8 6 2 0 0 C2v
50 doppelt erweitertes Dreiecksprisma     8 17 11 10 1 0 0 C2v
51 dreifach erweitertes Dreiecksprisma     9 21 14 14 0 0 0 D3h
52 erweitertes Fünfecksprisma     11 19 10 4 4 2 0 C2v
53 doppelt erweitertes Fünfecksprisma     12 23 13 8 3 2 0 C2v
54 erweitertes Sechsecksprisma     13 22 11 4 5 0 2 C2v
55 doppelt erweitertes Sechsecksprisma (para)     14 26 14 8 4 0 2 D2h
56 doppelt erweitertes Sechsecksprisma (meta)     14 26 14 8 4 0 2 C2v
57 dreifach erweitertes Sechsecksprisma     15 30 17 12 3 0 2 D3h

Modifizierte platonische KörperBearbeiten

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 Symmetrie
58 erweitertes Dodekaeder     erweitertes

Dodekaeder

21 35 16 5 0 11 C5v
59 doppelt erweitertes Dodekaeder (para)     22 40 20 10 0 10 D5d
60 doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)     22 40 20 10 0 10 C2v
61 dreifach erweitertes Dodekaeder     23 45 24 15 0 9 C3v
62 doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta)     beschnittenes

Ikosaeder

10 20 12 10 0 2 C2v
63 dreifach beschnittenes Ikosaeder     9 15 8 5 0 3 C3v
64 erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder     - 10 18 10 7 0 3 C3v

Modifizierte archimedische KörperBearbeiten

Jn Körper Abbildung Netz Typ E K F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symmetrie
65 erweitertes

abgestumpftes Tetraeder

    erweitertes abgestumpftes

Tetraeder

15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v
66 erweitertes

abgestumpftes Hexaeder

    erweitertes abgestumpftes

Hexaeder

28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v
67 doppelt erweitertes

abgestumpftes Hexaeder

    32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h
68 erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder

    erweitertes abgestumpftes

Dodekaeder

65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v
69 doppelt erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder (para)

    70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5d
70 doppelt erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder (meta)

    70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v
71 dreifach erweitertes

abgestumpftes Dodekaeder

    75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v
72 verdrehtes

Rhombenikosidodekaeder

    verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder

60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v
73 doppelt verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder (para)

    60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5d
74 doppelt verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder (meta)

    60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v
75 dreifach verdrehtes kleines

Rhombenikosidodekaeder

    60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v
76 beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

    beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
77 verdrehtes beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (para)

    verdrehtes beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
78 verdrehtes beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (meta)

    55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
79 doppelt verdrehtes beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

    55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
80 doppelt beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (para)

    beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5d
81 doppelt beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder (meta)

    50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
82 verdrehtes doppelt beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

    verdrehtes beschnittenes

kleines Rhombenikosidodekaeder

50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
83 dreifach beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

    beschnittenes kleines

Rhombenikosidodekaeder

45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3v

ÜbrigeBearbeiten

Jn Körper Abbildung Netz E K F F3 F4 F5 F6 Symmetrie
84 Trigondodekaeder     8 18 12 12 0 0 0 D2d
85 abgeschrägtes Quadratantiprisma     16 40 26 24 2 0 0 D4d
86 Sphenocorona     10 22 14 12 2 0 0 C2v
87 erweiterte Sphenocorona     11 26 17 16 1 0 0 Cs
88 Sphenomegacorona     12 28 18 16 2 0 0 C2v
89 Hebesphenomegacorona     14 33 21 18 3 0 0 C2v
90 Disphenocingulum     16 38 24 20 4 0 0 D2d
91 Bilunadoppelrotunde     14 26 14 8 2 4 0 D2h
92 Dreieckshebesphenorotunde     18 36 20 13 3 3 1 C3v

WeblinksBearbeiten

Commons: Johnson solids – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Norman W. Johnson: Convex Solids with Regular Faces. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 18, 1966, ISSN 0008-414X, S. 169–200.
  2. Viktor A. Zalgaller: Convex Polyhedra with Regular Faces (= Seminars in Mathematics. Bd. 2, ISSN 0080-8873). Consultants Bureauvon, New York NY 1969.