Hyperwürfel

n-dimensionale Analogie zum Punkt (n=0), Strecke (n=1), Quadrat (n=2) und zum Würfel (n=3)

Hyperwürfel oder Maßpolytope sind -dimensionale Analogien zum Quadrat () und zum Würfel (). Dabei kann eine beliebige natürliche Zahl sein. Der vierdimensionale Hyperwürfel wird auch als Tesserakt bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines Hyperwürfels ist die Hyperoktaedergruppe.

Projektion eines Tesseraktes (vierdimensionaler Hyperwürfel) in die 2. Dimension

Konstruktion regulärer Würfel

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Reguläre Würfel der Kantenlänge   lassen sich wie folgt erzeugen:

  • Wenn ein Punkt um die Distanz   geradlinig verschoben wird, entsteht eine eindimensionale Strecke, mathematisch ein eindimensionaler Hyperwürfel.
  • Wenn diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um die Distanz   verschoben wird, entsteht ein zweidimensionales Quadrat, eine Fläche, mathematisch ein zweidimensionaler Hyperwürfel.
  • Wenn dieses Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um die Distanz   verschoben wird, entsteht ein dreidimensionaler Würfel, mathematisch einem dreidimensionalen Hyperwürfel entsprechend.
  • Allgemein: Wenn also ein  -dimensionaler Würfel senkrecht zu seinen   Dimensionen um die Distanz   verschoben wird, entsteht ein  -dimensionaler Hyperwürfel.

Grenzelemente

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In einem Hyperwürfel der Dimension   befinden sich an jedem Knoten (Ecke) genau   Kanten. Demnach handelt es sich bei einem Hyperwürfel um einen ungerichteten Graph (siehe auch: Graphentheorie).

Der  -dimensionale Würfel wird von nulldimensionalen, eindimensionalen, …,  -dimensionalen Elementen begrenzt. Am Beispiel:

Der 3-dimensionale Würfel wird von Knoten (Punkten), Kanten (Strecken) und Flächen begrenzt, also von Elementen der Dimension 0,1 und 2.

 
Die 0- bis 5-dimensionalen Würfel in der Parallelprojektion

Die Anzahl der einzelnen Grenzelemente lässt sich aus folgender Überlegung ableiten: Sei ein Hyperwürfel von der Dimension   gegeben. Die  -dimensionalen Grenzelemente dieses Würfels ( ) lassen sich folgendermaßen aus den Grenzelementen eines  -dimensionalen Hyperwürfels erzeugen: Die  -dimensionalen Grenzelemente ( ) verdoppeln sich und alle   dimensionalen Elemente   werden zu  -dimensionalen erweitert. Somit ergibt sich in der Summe eine Anzahl von  .

Beispiel
  • Der 2-dimensionale Hyperwürfel wird von 1 Fläche  , 4 Kanten   und 4 Knoten   begrenzt.
  • Der 3-dimensionale Würfel wird von   Flächen   begrenzt, von   Kanten   und   Knoten  .

Anders kann man sich überlegen: Wenn man einen  -dimensionalen Hyperwürfel in ein kartesisches Koordinatensystem um den Ursprung zentriert und nach den Koordinatenachsen ausgerichtet legt, gibt es zu einem  -dimensionalen Grenzelement   Koordinatenachsen, die parallel zu diesem Grenzelement sind. Andererseits gibt es aber zu jeder Auswahl von   Koordinatenachsen nicht nur ein  -dimensionales Grenzelement, sondern   weil man durch jede der   zu den Grenzelementen senkrechten Achsen die Anzahl der Grenzelemente verdoppelt (es gibt dieselben Grenzelemente noch einmal parallelverschoben auf der anderen Seite der Achse). Die Anzahl der Grenzelemente ergibt sich also aus dem Produkt der Anzahl der Möglichkeiten,   Achsen aus den   Achsen auszuwählen, mit der Anzahl von Grenzelementen für jede Auswahl und lautet somit   (mit dem Binomialkoeffizienten  ).

 
Der Weg zum Hyperwürfel
  Schläfli-
Symbol
Anzahl der Grenzelemente
0-dim. 1-dim. 2-dim. 3-dim. 4-dim.    -dim.  -dim.
Punkt   1
Strecke   2 1
Quadrat   4 4 1
3-dim. Würfel   8 12 6 1
4-dim. Würfel   16 32 24 8 1
     
 -dim. Würfel    
 
 
 
 
 
     
 
 
 

Jedes  -dimensionale Grenzelement eines  -dimensionalen Würfels der Kantenlänge   ist für   ein  -dimensionaler Würfel derselben Kantenlänge  . Damit hat ein 4-Hyperwürfel 16 Ecken, ein Kantennetz der Länge  , ist begrenzt von einem Flächennetz der Gesamtfläche   und von Zellen mit dem 3-Gesamtvolumen (der 3-dimensionalen Hyperfläche) von   und hat ein 4-Volumen von  .

Eigenschaften

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Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt

Der Name Maßpolytop kommt von der Möglichkeit, das Objekt parallel zu allen Koordinatenachsen auszurichten und den euklidischen Raum durch parallele Vervielfältigung restlos auszufüllen. Es ist das einzige regelmäßige Polytop, mit dem dies in Dimensionen   gelingt. Für jede Dimension sind diese Parkettierungen selbstdual mit dem Schläfli-Symbol  

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimension multipliziert mit seiner Kantenlänge.

Maßpolytop (oder Hyperwürfel) und Kreuzpolytop (oder Hyperoktaeder) sind zueinander dual. Daher stimmen auch ihre Symmetriegruppen überein.

winkeltreue Projektion in mögliche Operationen[1]
Dimension Objekt 2-D 3-D 4-D schieben drehen winden stülpen
0 Punkt + + +
1 Linie + + + +
2 Quadrat + + + + +
3 Würfel + + + + +
4 Tesserakt + + + + +
Dimension Kanten Knoten Seiten Grad Durch-
messer
Kanten-
Zusammenhang
Knoten-
Zusammenhang
1              
2              
3              
4              
... ... ... ... ... ... ... ...
               

Hyperwürfel in der Kultur

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Bildende Kunst

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In der bildenden Kunst beschäftigen sich viele Künstler mit dem Hyperwürfel.

  • Tony Robbin – durch Spiegelungen und Verdrehungen von Würfel-Kanten erzeugt Tony Robbin in Zeichnungen und mit Raum-Installationen Situationen, die nur in einer hyperdimensionalen Welt möglich wären.
  • Manfred Mohr – veranschaulicht in seinen Kompositionen Interaktionen von Linien, die einer räumlichen Logik von mehr als drei Freiheitsgraden folgen.
  • Frank Richter – konkretisiert in Grafiken, Plastiken und Rauminstallationen nach der Vorgabe von mathematischen Regeln Raum-Konstellationen, die über die dritte Dimension hinausgehen.
  • Salvador Dalí hat in seinem Bild Kreuzigung (Corpus Hypercubus) 1954 einen gekreuzigten Jesus auf das Netz eines Hyperwürfels gemalt.[2]
  • Kay Herrmann – Installation Hyperwürfel auf dem Siegelohplatz in Auerbach im Vogtland[3][4][5][6]
 
Projektion eines rotierenden Hyperwürfels
  • Der Film Cube 2: Hypercube handelt von einem Hyperwürfel, in dem sich die Charaktere in den drei räumlichen Dimensionen und einer zeitlichen Dimension bewegen und sich beispielsweise selbst in einem anderen Zeitabschnitt begegnen.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Die Bewegungen eines Punktes innerhalb eines Hyperwürfels: schieben auf einer geraden Linie; drehen als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in einer Ebene; winden als Bewegung auf einer gekrümmten Bahn in drei Dimensionen; stülpen als Bewegung auf einer vierdimensional gekrümmten Bahn.
  2. Beispiel eines Dalígemäldes (Memento vom 23. Juli 2015 im Internet Archive)
  3. Bernd Schädlich: Wissenschaft zum Anfassen mit "XXL-Experiment-Installationen" in Auerbach. In: mdr.de. MDR, 18. August 2023, abgerufen am 20. August 2023 (deutsch).
  4. Stadt Auerbach: "Mathematisches XXL-Experiment". In: stadt-auerbach.de. Stadt Auerbach, 23. August 2023, abgerufen am 23. August 2023 (deutsch).
  5. Kenny Marek: Mathematische Figuren zieren öffentlichen Raum. In: sachsen-fernsehen.de. Sachsen Fernsehen, 22. August 2023, abgerufen am 23. August 2023 (deutsch).
  6. Daniel Persian: Kosmografikum. In: msscholl.de. Scholl Schule Auerbach, 23. August 2023, abgerufen am 25. August 2023 (deutsch).