Hilbertwürfel

unendlichdimensionaler Würfel mit einer kompakten Topologie

Der Hilbertwürfel, auch Hilbertquader oder hilbertscher Fundamentalquader genannt, englisch Hilbert cube, ist ein nach dem Mathematiker David Hilbert benannter topologischer Raum, der den aus dem Anschauungsraum bekannten Würfel auf unendlich viele Dimensionen verallgemeinert.

DefinitionBearbeiten

Der Hilbertwürfel   ist der Produktraum  , versehen mit der Produkttopologie. Das bedeutet im Einzelnen:

  •   ist die Menge aller Folgen   mit   für alle  .
  • Eine Folge   in  , wobei  , konvergiert genau dann gegen ein  , wenn   für alle Indizes  .

EigenschaftenBearbeiten

 
gegeben.
 
eine abzählbare dichte Teilmenge von  . Die Menge aller  -Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus   ist dann eine abzählbare Basis.
  • Die lebesgue'sche Überdeckungsdimension des Hilbertwürfels   ist unendlich, denn für jedes   enthält der Hilbertwürfel den zu   homöomorphen Unterraum  , muss daher eine Dimension   haben für alle   und das heißt  .

Universelle EigenschaftBearbeiten

Kompakte Räume mit abzählbarer BasisBearbeiten

Der Hilbertwürfel   ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis.   ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt[1]:

Polnische RäumeBearbeiten

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt[2]:

  • Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die  -Mengen im Hilbertwürfel.
  • Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

Der Hilbertwürfel im l2Bearbeiten

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum   der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

 .

Dann ist   ein Homöomorphismus, wenn man   mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums   versieht. Beachte, dass   keine Nullumgebung in   ist, denn   enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf   die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären   oder   oder  , versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre   selbst eine Teilmenge des Hilbertraums  . Die erste Variante wird in [3] verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel, sondern vom Hilbertquader, ebenso in [4], wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 Kapitel 5.2, Satz 8.
  2. Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Korollar auf S. 335.
  3. Wolfgang Franz: Topologie. Band 1: Allgemeine Topologie (= Sammlung Göschen. Bd. 6181). 4., verbesserte und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 14.
  4. Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21393-7, S. 199.