Doppelpyramide

Eine -eckige Doppelpyramide (auch Bipyramide oder Dipyramide, englisch dipyramid) ist ein Polyeder, das entsteht, indem man eine -eckige Pyramide und ihr Spiegelbild an den Grundflächen verklebt. Das -Eck, das die gemeinsame Grundfläche der beiden Pyramiden darstellt, ist keine Seitenfläche der Doppelpyramide, sondern liegt im Inneren der Doppelpyramide, in der Symmetrieebene zwischen den beiden -eckigen Pyramiden. Die Doppelpyramide hat damit Spitzen, Ecken und Kanten und ihre Oberfläche besteht aus Dreiecken.

Doppelpyramide mit einem Sechseck als Grundfläche

Besondere DoppelpyramidenBearbeiten

Nur drei Arten von Doppelpyramiden haben die Eigenschaft, dass alle Kanten dieselbe Länge haben können, sodass alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind: die dreieckige, die viereckige und die fünfeckige Doppelpyramide. Diese spezielle viereckige Doppelpyramide, das Oktaeder, zählt zu den platonischen Körpern, während die dreieckige und die fünfeckige Doppelpyramide zu den Johnson-Körpern zählen (J12 und J13). Diese drei Doppelpyramiden sind Deltaeder.

Regelmäßige DoppelpyramideBearbeiten

Von einer regelmäßigen Doppelpyramide spricht man, wenn die erzeugende Pyramide regelmäßig ist, d. h. wenn deren Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und die Gerade durch die Doppelpyramidenspitzen die Grundfläche senkrecht schneidet.

Eine regelmäßige Doppelpyramide kann auf eine solche Weise auf die Sphäre bzw. eine Kugel projiziert werden, dass ihre Spitzen auf zwei sich gegenüberliegende Punkte (die Pole) auf der Kugel abgebildet werden, das regelmäßige  -Eck auf den Äquator um die Achse durch die beiden Pole und die an den Doppelpyramidenspitzen anliegenden Kanten in gleichabständige Längenkreise durch die Pole, die den Äquator jeweils senkrecht schneiden. Die Seitenflächen der Doppelpyramide werden dabei auf sphärische Dreiecke abgebildet.

Die Symmetriegruppe einer regelmäßigen Doppelpyramide ist das direkte Produkt ihrer Drehgruppe mit der zweielementigen Gruppe, die von der Spiegelung an der Ebene senkrecht zur Drehachse erzeugt wird. Die Symmetriegruppe der regelmäßigen,  -eckigen Doppelpyramide ist   der Ordnung   außer im Fall des Oktaeders, dessen Symmetriegruppe die Oktaedergruppe   der Ordnung 48 ist. Die Drehgruppe einer regelmäßigen Doppelpyramide ist die Diedergruppe   der Ordnung   außer im Fall des Oktaeders, dessen Drehgruppe Oktaedergruppe   der Ordnung 24 ist (isomorph zur symmetrischen Gruppe   auf der Menge der Raumdiagonalen, also zur Gruppe der   Permutationen der vier Raumdiagonalen).

3 4 5 6 7 8 9 10
               
               

FormelnBearbeiten

Größen einer regelmäßigen Doppelpyramide (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe a)
Allgemeiner Fall Quadratische Doppelpyramide Regelmäßige Dreiecks-Doppelpyramide
Volumen      
Oberflächeninhalt      
Steilkantenlänge      
Inkugelradius      
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche      
Basiswinkel der gleichschenkligen Dreiecke      
Winkel an der Spitze der gleichschenkligen Dreiecke      
Winkel zwischen Grundfläche und gleichschenkligen Dreiecken      
Winkel zwischen den gleichschenkligen Dreiecken      
Raumwinkel am Äquator  
Raumwinkel in der Spitze  

SpezialfälleBearbeiten

Für bestimmte Werte von   und   ergeben sich Zusammenhänge mit platonischen Körpern oder Johnson-Körpern:

  • Für   und   ergibt sich die regelmäßige Dreiecks-Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken, der Johnson-Körper J12. Sie besteht aus zwei regelmäßigen Tetraedern.
  • Für   und   ergibt sich die quadratische Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken, nämlich das Oktaeder.
  • Für   und   ergibt sich die regelmäßige Fünfecks-Doppelpyramide mit gleichseitigen Dreiecken, der Johnson-Körper J13. Die beiden Hälften sind regelmäßige Pyramiden, die Teile des Ikosaeders sind.

Gerade DoppelpyramideBearbeiten

Ist die Pyramide, die eine Doppelpyramide erzeugt, gerade, so spricht man von einer geraden Doppelpyramide. Der duale Körper einer geraden Doppelpyramide ist ein gerades Prisma und umgekehrt.

Allgemeine DoppelpyramideBearbeiten

VolumenBearbeiten

 
Blaw-Knox-Sendemast in Lakihegy, Ungarn, in Form einer Doppelpyramide

Das Volumen einer Doppelpyramide ist  , wobei   den Flächeninhalt der Grundfläche der erzeugenden Pyramide bezeichnet und   die Höhe einer Spitze über dieser Grundfläche. Diese Formel gilt unabhängig davon, ob es sich um eine gerade Doppelpyramide handelt oder nicht, solange die Höhe   als der orthogonale Abstand einer Spitze zur Ebene, in der die Grundfläche liegt, bestimmt wird.

WeblinksBearbeiten

Commons: Bipyramiden – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien