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Diese Schneeflocke hat die Symmetriegruppe eines regelmäßigen Sechsecks.

In der Gruppentheorie ist die Diedergruppe die Isometriegruppe eines regelmäßigen Polygons in der Ebene. Die Gruppe enthält Elemente, nämlich Drehungen und Spiegelungen. Sie ist für nicht-abelsch. Ihr Name leitet sich vom Wort Dieder (Silbentrennung: Di-eder, Aussprache [diˈeːdər]) (griechisch: Zweiflächner) für regelmäßige -Ecke ab.

Diedergruppen treten häufig in der Geometrie und Gruppentheorie auf. Sie werden von zwei Spiegelungen (Elementen der Ordnung ) erzeugt und sind damit die einfachsten Beispiele von Coxeter-Gruppen.

Inhaltsverzeichnis

BezeichnungenBearbeiten

Es gibt für Diedergruppen zwei abweichende Bezeichnungen. In der Geometrie schreibt man üblicherweise  , um den Zusammenhang mit dem regelmäßigen  -Eck zu unterstreichen. In der Gruppentheorie schreibt man auch oft  , um stattdessen die Ordnung   hervorzuheben. Diese Zweideutigkeit lässt sich jedoch leicht durch eine erläuternde Ergänzung beheben. In diesem Artikel steht   für die Diedergruppe mit   Elementen.

DefinitionBearbeiten

Die Diedergruppe   kann für   als die Isometriegruppe eines regelmäßigen  -Ecks in der Ebene definiert werden. Diese besteht aus   Drehungen und   Spiegelungen, hat also insgesamt   Elemente. Die Isometrien bezeichnet man auch als Symmetrietransformationen. Als Verknüpfung der Gruppe   dient die Hintereinanderausführung von Symmetrietransformationen.

Im Fall   und   führt die geometrische Definition jedoch zu einer anderen Gruppe. Daher ist hier die algebraische Definition über das semidirektes Produkt   vorzuziehen (dabei ist in dem semidirekten Produkt die Operation von   auf   durch Inversion gegeben). Diese algebraische Definition gilt für alle  .

BeispieleBearbeiten

Ein Beispiel ist die Diedergruppe   der Kongruenzabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks auf sich, die isomorph zur symmetrischen Gruppe   ist.   ist entsprechend die Symmetriegruppe des Quadrats unter Spiegelungen und Drehungen.

  ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe und ist die Symmetriegruppe (bestehend nur aus den beiden Spiegelungen, der Drehung um 180° und der Identität) von den vier Ecken eines Quadrats, bei dem nur die rechte und linke Seite eingezeichnet sind (also zwei Zweiecke).   ist die Symmetriegruppe eines Zweiecks.

Die folgende Grafik illustriert die Diedergruppe   anhand der Drehungen und Spiegelungen eines Stoppschildes: Die erste Zeile zeigt alle acht Drehungen, die zweite Zeile alle acht Spiegelungen.

 

Matrix-DarstellungBearbeiten

Wir betrachten ein ebenes regelmäßiges  -Eck. Seinen Mittelpunkt wählen wir als Nullpunkt   eines Koordinatensystems, irgendeine seiner   Symmetrieachsen als  -Achse und die Normale dazu (in üblicher Orientierung, sodass sich ein Rechtssystem ergibt) als  -Achse. Die Diedergruppe   lässt sich dann leicht als Matrixgruppe darstellen. Hierzu sei   die Drehung um   um den Winkel   und   die Spiegelung an der Geraden durch  , die im Winkel   gegenüber der positiven  -Achse geneigt ist. Als Matrizen schreiben sich diese Transformationen dann so:

 

Hierbei fallen folgende Relationen auf:

  •   und  . Daher können wir uns auf   beschränken.
  •  , die Drehung um den Winkel  , ist die Identität.
  •   ist die Drehung um den Winkel   und es gilt   für alle  .
  •   ist die Spiegelung an der  -Achse und es gilt   für alle  .

Wenn   ungerade ist, dann verläuft jede der   Spiegelachsen durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Für gerades   gibt es hingegen zwei Arten von Spiegelachsen, durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte oder durch zwei gegenüberliegende Seitenmittelpunkte.

In dieser Darstellung schreiben sich zum Beispiel die acht Elemente der Diedergruppe   wie folgt:

 

Diese Drehungen und Spiegelungen lassen sich bildlich wie folgt darstellen:

 
Zykel-Graph von Dih4. "a" ist eine Drehung im Uhrzeigersinn und "b" eine horizontale Spiegelung.
 
  (Drehung um 0°)
 
  (Drehung um 90°)
 
  (Drehung um 180°)
 
  (Drehung um 270°)
 
  (Spiegelung an der x-Achse)
 
  (Spiegelung an der Diagonale y=x)
 
  (Spiegelung an der y-Achse)
 
  (Spiegelung an der Diagonale y=-x)
Drehungen und Spiegelungen eines Quadrates. Die vier Ecken sind nummeriert und eingefärbt, um die Transformation bildlich darzustellen.

Permutations-DarstellungBearbeiten

Betrachten wir zunächst als Beispiel die Diedergruppe  . Diese operiert durch Symmetrietransformationen auf einem Quadrat wie in der vorangehenden Grafik gezeigt. Betrachtet man die Aktion der Diedergruppe   auf den Eckpunkten  , erhält man eine treue Darstellung in die symmetrische Gruppe  , also einen injektiven Gruppenhomomorphismus  . Genauer gesagt wirken die Transformationen auf den Ecken als folgende Permutationen:

 

Ganz allgemein definiert die Operation der Diedergruppe   auf den Eckpunkten   eine treue Darstellung  . In obiger Notation erhält man zum Beispiel die Permutation

 

In Zykelschreibweise ist dies die zyklische Permutation, die   auf   abbildet,   auf   und so weiter, bis schließlich   auf   abgebildet wird. Die weiteren Drehungen erhält man hieraus mittels der Relation   für alle  . Für die Spiegelungen erhält man entsprechend in Zykelschreibweise

 

bei geradem   bzw.

 

bei ungeradem  . Die weiteren Spiegelungen erhält man hieraus mittels der Relation   für alle  .

Erzeuger und RelationenBearbeiten

Alle   Drehungen werden von   erzeugt. Diese bilden eine zyklische Untergruppe der Ordnung   und demnach von Index  . Man erhält die gesamte Gruppe durch Hinzufügen einer beliebigen Spiegelung, zum Beispiel  , und so die Präsentation

 

wobei   das neutrale Element der Gruppe ist.

 
Cayleygraph der Diedergruppe mit n=5

Die Verkettung von zwei Spiegelungen ist eine Drehung. Ist der Winkel zwischen den beiden Spieglungsachsen  , so ist diese Verkettung eine Drehung um den Winkel  . Das bedeutet, dass die Diedergruppe   von zwei benachbarten Spiegelungen, zum Beispiel   und  , erzeugt wird. Man erhält so die Präsentation

 

Dies ist der einfachste Fall einer Coxeter-Gruppe.

Für alle Indizes   und   gilt außerdem:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

wobei die Indizes jeweils modulo n betrachtet werden (  und  ).

AnwendungenBearbeiten

GeometrieBearbeiten

Diedergruppen sind die einfachsten Beispiele von Spiegelungsgruppen. Diese spielen in der klassischen Geometrie eine wichtige Rolle, zum Beispiel bei der Klassifikation der regulären Polyeder. In Dimension   entsprechen hier Diedergruppen den regulären Polygonen.

CodierungBearbeiten

Die durch obige Permutationen definierte Zahlenverknüpfung wird bei Prüfsummenverfahren als Alternative zu diversen modulo-basierten Verfahren angewendet. Zum Beispiel besaßen die deutschen Banknoten Dieder-Prüfsummen.[1]

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Jörg Michael: Blütenrein. Prüfziffernverfahren auf der Basis von Diedergruppen. In: c't 4/1997. S. 448.