Hauptmenü öffnen

Der Satz von Fubini ist ein Satz in der Integralrechnung. Er gibt an, unter welchen Bedingungen und wie man mehrdimensionale Integrale mit Hilfe von eindimensionalen Integralen ausrechnen kann. Erstmals wurde dieser Satz von Guido Fubini (1879–1943) bewiesen.

Inhaltsverzeichnis

BeschreibungBearbeiten

Mit Hilfe des Riemann-Integrals oder des Lebesgue-Integrals kann man die Integration von Funktionen über mehrdimensionale Gebiete definieren. Das Problem hierbei ist, dass diese Integrale über einen Grenzwert mit Hilfe einer Zerlegung des Gebiets in kleine Teile definiert sind. Diese ergibt allerdings keine nützliche, konstruktive Methode, um solche Integrale zu berechnen. Bei eindimensionalen Integralen kann man diese Grenzwertbildung vermeiden, wenn sich zu der zu integrierenden Funktion eine Stammfunktion finden lässt (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

Mit Hilfe des Satzes von Fubini können nun mehrdimensionale Integrale auf eindimensionale zurückgeführt werden, welche wiederum mit Hilfe einer Stammfunktion (sofern bekannt) berechnet werden können. Der Satz sagt zudem aus, dass die Reihenfolge der eindimensionalen Integrationen keine Rolle spielt. Dieser Trick ist in naiver Weise (vor einer exakten Definition der Integrationsrechnung) schon im 16. Jahrhundert verwendet worden und ist im Spezialfall von Volumenberechnungen unter dem Prinzip von Cavalieri bekannt.

Satz von Fubini für das Riemann-IntegralBearbeiten

Sei   stetig.

Dann ist   mit   stetig und es gilt

 .

Satz von Fubini für das Lebesgue-IntegralBearbeiten

Seien   und   zwei  -endliche Maßräume und   eine messbare Funktion, die bezüglich des Produktmaßes   integrierbar ist, das heißt es gelte

 

oder es gelte   fast überall.

Dann ist für fast alle   die Funktion

 

und für fast alle   die Funktion

 

integrierbar bzw. nichtnegativ. Man kann deshalb die durch Integration nach   beziehungsweise   definierten Funktionen

 
 

betrachten. Diese sind auch integrierbar bzw. nichtnegativ und es gilt

 

Satz von Tonelli (auch Satz von Fubini-Tonelli)Bearbeiten

Eine nützliche Variante dieses letzten Satzes ist der Satz von Tonelli. Hier wird die Integrierbarkeit bezüglich des Produktmaßes als Voraussetzung nicht benötigt. Es reicht, dass für   die iterierten Integrale existieren:

Sei   eine reelle messbare Funktion wie oben. Falls eines der beiden iterierten Integrale

 ,
 

existiert, dann existiert auch das andere,   ist bezüglich des Produktmaßes integrierbar und es gilt:

 

FolgerungenBearbeiten

Durch komponentenweise Betrachtung ergibt sich sofort, dass der Satz von Fubini nicht nur für reellwertige Funktionen, sondern entsprechend auch für Funktionen mit Werten in endlichdimensionalen reellen Vektorräumen gilt. Da der Körper   der komplexen Zahlen ein zweidimensionaler  -Vektorraum ist, gilt der Satz von Fubini ebenso für komplexwertige Funktionen oder Funktionen mit Werten in endlichdimensionalen  -Vektorräumen.

StochastikBearbeiten

Mithilfe des Satzes von Fubini kann man folgende Identitäten beweisen, die zum Beispiel Anwendung in der Stochastik finden.

  • Sei   Lebesgue-integrierbar, dann gilt:
 
  • Sei   Lebesgue-integrierbar, dann folgt induktiv:
 

Faltung zweier FunktionenBearbeiten

Zudem liefert der Satz einen einfachen Beweis der Wohldefiniertheit der Faltung zweier Funktionen: Seien   aus dem  -Raum.   bezeichne das Lebesgue-Maß. Definiere die Funktion

 ,  .

Dann gilt

 .

Also existiert gemäß Fubini-Tonelli auch das Integral

 

und ist gleich dem obigen Integral.

Insbesondere sind die (messbaren) Funktionen  ,   für fast jedes   absolut integrierbar. Also ist die Faltung der Funktionen   und  , gegeben durch

 ,

wohldefiniert.

Zudem ist die Funktion   auch in   enthalten, und es gilt  .

LiteraturBearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 7. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, Kapitel V.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 279.
  • Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage, Springer, Berlin 2004.