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Pythagoreisches Tripel

Begriff aus der Zahlentheorie
Die Tontafel Plimpton 322
Pythagoreische Tripel im kartesischen Koordinatensystem mit x und y von 1 bis 2500. Die deutlich dunklen Linien markieren Tripel der Form (3n)² + (4n)² = (5n)²; weitere Regelmäßigkeiten werden in der Vergrößerung sichtbar.
Die Symmetrie zur 45°-Achse ist eine Folge des Kommutativgesetzes.
x und y von −1000 bis +1000

In der Zahlentheorie wird ein pythagoreisches Tripel oder pythagoreisches Zahlentripel von drei natürlichen Zahlen gebildet, die als Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks vorkommen können.

Sie finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr). Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel,[1] u. a. , und , was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln nur aus einem demotischen Papyrus des 3. Jahrhunderts v. Chr. bekannt,[2] doch wurde auch die Verwendung insbesondere der Tripel und für Böschungswinkel bei einigen Pyramiden aus einer Zeit rund zweitausend Jahre vor dem erwähnten Papyrus diskutiert.[3]

Das indische Baudhayana-Sulbasutra aus dem 6. Jahrhundert vor Christus enthält fünf pythagoreische Tripel.[4]

Pythagoreische Tripel wurden bei den Griechen von Euklid, nach dem Kommentar von Proklos zu Euklids Elementen von Pythagoras und Platon behandelt und später von Diophant. Wegen des pythagoreischen Lehrsatzes sind sie genau die positiven ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung

.

Wenn , und keinen gemeinsamen Teiler haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel. Bei jedem primitiven Tripel ist ungerade, und von den Zahlen und ist eine gerade und die andere ungerade.

Inhaltsverzeichnis

BeispieleBearbeiten

  • 3, 4 und 5, denn 9 + 16 = 25. (3, 4, 5) ist das kleinste pythagoreische Tripel. Es ist primitiv. Im Gebrauch einer Zwölfknotenschnur lässt sich damit ein rechter Winkel herstellen.
  • Weitere kleine primitive pythagoreische Tripel sind (5, 12, 13) und (8, 15, 17).
  • (15, 20, 25) = (5·3,4,5) und (15, 36, 39) = (3·5,12,13) sind nicht primitiv.

Die primitiven pythagoreischen Tripel   mit   sind:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Erzeugung der pythagoreischen TripelBearbeiten

Die Formeln

 
 
 

liefern für beliebige   ein pythagoreisches Tripel. Es ist genau dann primitiv, wenn   und   teilerfremd und nicht beide ungerade sind.

Diese Formeln wurden von Euklid angegeben (Elemente, Buch 10, Proposition 29, Lemma 1).[5] Sie werden manchmal indische Formeln genannt, da sie explizit auch von dem indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) angegeben werden.[6][7] Möglicherweise waren sie auch den Babyloniern bekannt bei ihrer Erstellung pythagoreischer Tripel,[8] denn die Formeln ergeben sich unmittelbar aus der babylonischen Multiplikationsformel:

 

wenn man   und   setzt.

Umgekehrt lässt sich jedes primitive Tripel mit Hilfe dieser Formeln aus teilerfremden   erzeugen.

Jedes pythagoreische Tripel   kann aus einem primitiven Tripel   als   mit einer positiven ganzen Zahl   berechnet werden. Die natürliche Zahl   ist der größte gemeinsame Teiler von   und damit eindeutig bestimmt.

Beispiele:

  •   liefert das Tripel  .
  • Multiplikation mit   liefert  . Es ergibt sich nach den obigen Formeln aus   Weil   und   beide ungerade sind, ist es trotzdem nicht primitiv.
  •   liefert das primitive Tripel  
  • Multiplikation mit   liefert  ; dies ist ein pythagoreisches Tripel, das sich nicht nach den „indischen Formeln“ erzeugen lässt. Diese erzeugen nämlich alle primitiven, aber nur einen Teil der nicht-primitiven Tripel.

Herleitung der Formel zur Bildung der pythagoreischen TripelBearbeiten

Ist   ein pythagoreisches Tripel, so ergibt die Division der zugehörigen Gleichung   durch  

 

Die Zahlen   und   sind rational und positiv und erfüllen die Koordinatengleichung des Einheitskreises

 

Also ist   ein Punkt mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis. Die Gerade durch die Punkte   und   schneidet die y-Achse in einem Punkt  , wobei   die Steigung dieser Geraden ist, für die gilt:

 

Daher ist   eine rationale Zahl.

Eliminiert man   aus dieser Gleichung und der des Einheitskreises, erhält man mit

 

eine Bestimmungsgleichung für  .

Wegen   gilt  , sodass man beide Seiten durch   dividieren darf:

 
 
 

Damit haben wir also

 

oder, weil man   mit teilerfremden natürliche Zahlen   setzen kann:

 

Dies ergibt das pythagoreische Tripel

 

Es kann vorkommen, dass  ,   und   einen gemeinsamen Teiler   haben. Aus   würde beispielsweise   folgen.

Als einzige Möglichkeit hierfür kommt jedoch   in Betracht. Denn angenommen, eine ungerade Primzahl   teilte sowohl   als auch  , so wäre

  und  

woraus man, weil   prim und 2 teilerfremd zu   ist, so weiter schließen kann:

 

Die ungerade Primzahl   teilt also   und wegen   auch  . Das steht jedoch in Widerspruch zur Teilerfremdheit von   und  , sodass   nicht ungerade sein kann. Also bleibt nur  , was mit   offenbar auch tatsächlich möglich und immer der Fall ist.

Man kann solche  , die teilerfremd und beide ungerade sind, jedoch aussortieren, ohne primitive pythagoreische Tripel zu verlieren. Denn, wenn   und   das Tripel   ergeben, so ergeben   und   das Tripel  . Dabei sind   teilerfremd und nicht beide ungerade.

Weitere Formeln für pythagoreische TripelBearbeiten

Aus der Antike stammen nach Proklos die Formeln von Pythagoras und Plato. Pythagoras gibt die Seitenlängen   für ungerades   an, Platon für gerade   die Seitenlängen   an. Setzt man  , kann man die Formel von Pythagoras auch als   für   angeben.

Die ersten primitiven pythagoreischen TripelBearbeiten

Nach den Euklidischen Regeln erhält man als primitive pythagoreische Tripel zum Beispiel (geordnet nach  ):

u v x y z
2 1 3 4 5
4 1 15 8 17
3 2 5 12 13
6 1 35 12 37
5 2 21 20 29
4 3 7 24 25
8 1 63 16 65
7 2 45 28 53
5 4 9 40 41
10 1 99 20 101
9 2 77 36 85
8 3 55 48 73
7 4 33 56 65
6 5 11 60 61

Zwei Folgen von pythagoreischen Tripeln sind noch bemerkenswert:

  • für  :
     [9]
    also für jede ungerade Zahl   (außer 1) ein Tripel, bei dem die Zahl   die kleinste Zahl ist und sich die beiden anderen Zahlen um genau 1 unterscheiden:   Dies hängt damit zusammen, dass gemäß der ersten binomischen Formel   ist und deshalb jede ungerade Zahl   die Differenz zweier benachbarter Quadratzahlen ist. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl   auch ungerade ist, gibt es zu jeder ungeraden Zahl 2n+1 ein pythagoreisches Tripel (2m+1 = (2n+1)²). Dies entspricht der Formel von Pythagoras.
  • für   (und gerades  ):
     
    also für jede natürliche Zahl   ein Tripel, das die Zahl   enthält, und bei dem sich die beiden anderen Zahlen um genau 2 unterscheiden:   Auch dieses ergibt sich aus der ersten binomischen Formel:   Jede durch 16 teilbare Quadratzahl lässt sich als   schreiben, sodass zu jeder Zahl   ein pythagoreisches Tripel existiert  

Auch für jede gerade Zahl   größer als 2, die kein Vielfaches von 4 ist, kann man mit der ersten Folge ein pythagoreisches Tripel bilden   und die Zahlen dann verdoppeln. Somit kann man zu jeder natürlichen Zahl  , die größer als 2 ist, ein Zahlenpaar   finden, bei ungeradem   mit der Differenz 1, bei geradem   mit Differenz 2:

x y z
3 4 5
4 3 5
5 12 13
6* 8* 10*
7 24 25
8 15 17
9 40 41
10* 24* 26*
11 60 61
12 35 37
13 84 85
14* 48* 50*
15 112 113
16 63 65
17 144 145
18* 80* 82*
19 180 181
20 99 101

Mit * sind nichtprimitive Tripel markiert. Die Fälle für   sind redundant, da sie eine Verdoppelung von   darstellen.

Verallgemeinerung auf pythagoreische (N + 1)-TupelBearbeiten

Pythagoreische Tripel können als Punkte mit ganzzahligen Koordinaten auf einem Kreis mit ganzzahligem Radius aufgefasst werden. Diese Idee lässt sich auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinern derart, dass ein pythagoreisches  -Tupel einen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten auf einer  -dimensionalen Hypersphäre mit ganzzahligem Radius darstellt.

Alle diese  -Tupel sind Lösungen der diophantischen Gleichung  , wobei   den Radius bezeichnet. Für alle Werte von   mit   sind für alle  -Tupel ganzer Zahlen unendlich viele Lösungen dieser Gleichung durch die folgende Identität gegeben:   mit   sowie   für alle  . Damit ergibt sich   als Summe von Quadraten ganzer Zahlen und somit als natürliche Zahl zu  . Der Beweis erfolgt direkt durch Einsetzen und Vereinfachen:

Beweis der IdentitätBearbeiten

 
 
 
 
 

Dies stimmt offensichtlich mit der rechten Seite der Gleichung überein, womit die Gültigkeit der Identität für alle  -Tupel ganzer Zahlen gezeigt ist.

Alternativer BeweisBearbeiten

Eine bequemere Notation des Sachverhaltes und eine Formulierung als Satz ergibt sich durch Betrachtung der folgenden Abbildung:

Seien   sowie   mit:  , wobei   die  -te Komponente von  ,   die  -Einheitsmatrix und   das dyadische Produkt des  -ten kanonischen Einheitsvektors mit dem Vektor   bezeichnen. Dann gilt:  . Anschaulich handelt es sich hierbei um eine Abbildung, die jeden Gitterpunkt eines kartesischen Gitters auf einen weiteren solchen Gitterpunkt – mit der Eigenschaft, ganzzahligen euklidischen Abstand zum Ursprung zu haben – abbildet.

Der Beweis erfolgt auch hier durch einfaches Ausrechnen:

 
 
 
 

Das entspricht gerade der zuvor bewiesenen Identität.

Anzahl der LösungenBearbeiten

Die Anzahl der Lösungen der diophantischen Gleichung   hängt sowohl von   als auch von   ab. Für   und   kann die Anzahl der Lösungen für   der folgenden Tabelle entnommen werden. Dabei bezeichnet   die Anzahl der Lösungen in   Dimensionen für den Abstand   und   die Gesamtanzahl aller Lösungen mit Abstand  , es gilt also:  

  1 02 003 004 005 006 0007 0008 0009 0010 Folge in der OEIS
  6 06 030 006 030 030 0054 0006 0102 0030 A267651
  8 24 104 024 248 312 0456 0024 0968 0744 A267326
  6 12 042 048 078 108 0162 0168 0270 0300 A267309
  8 32 136 160 408 720 1176 1200 2168 2912 A264390

Die Einträge in der Folge   sind durch   teilbar. Danny Rorabaugh hat dies am Beispiel   gezeigt.[10] Der Beweis lässt sich problemlos auf alle   verallgemeinern.

Gilt  , so besitzt die diophantische Gleichung   lediglich triviale Lösungen der Form  . Interessanterweise muss   gelten, damit für alle   eine nichttriviale Lösung existiert. Dies folgt unmittelbar aus dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange, wonach jede natürliche Zahl (und damit auch jede Quadratzahl) als Summe von nur vier Quadratzahlen darstellbar ist, und der Tatsache, dass die einzige Darstellung   als Summe von Quadratzahlen durch   gegeben ist.

Zusammenhang mit den heronischen DreieckenBearbeiten

Jedes zu einem pythagoreischen Tripel gehörige Dreieck ist ein heronisches Dreieck, das heißt, sowohl die Seitenlängen als auch der Flächeninhalt sind rationale Zahlen. Jedes heronische Dreieck lässt sich in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, die durch pythagoreische Tripel aus rationalen Zahlen gegeben sind.

Die Fermatsche GleichungBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der pythagoreischen Tripel erhält man, wenn man den Exponenten 2 durch eine natürliche Zahl   ersetzt. Man untersucht also die diophantische Gleichung

 

und sucht nach Lösungen durch natürliche (oder ganze) Zahlen   unter Ausschluss der trivialen Lösungen, bei denen eine der drei Zahlen gleich Null ist.

Pierre de Fermat stellte um das Jahr 1637 die Behauptung auf, dass es keine derartigen Tripel gibt. Obwohl er keinen Beweis angab, wird diese Vermutung als großer Fermatscher Satz bezeichnet. Jahrhundertelang konnte kein Beweis gefunden werden. Die Suche danach führte aber zu vielen interessanten Erkenntnissen, insbesondere in der Zahlentheorie. Erst 1995 konnte der Mathematiker Andrew Wiles den Satz von Fermat schließlich beweisen.

Fermat besaß einen Beweis für den Fall   und behandelte den eng verwandten Fall eines heronischen Dreiecks, dessen Flächeninhalt ein Quadrat ist (siehe Unendlicher Abstieg). Dieses Problem geht auch auf Diophant zurück.

AlgorithmusBearbeiten

Ein möglicher Algorithmus in der Programmiersprache Haskell könnte folgendermaßen aussehen. Er erstellt für eine natürliche Zahl   alle möglichen Tripel, deren Hypotenuse   nicht überschreitet:

pythTripels n = [(k*x, k*y, k*z) | (x,y,z) <- primitives, k <- [1..n`div`z]] where
   primitives = [(p^2-q^2, 2*p*q, p^2+q^2) | p <- takeWhile (\p -> p^2+1 <= n) [1..], q <- takeWhile (\q -> p^2+q^2 <= n) [1..p], odd (p+q) && gcd p q == 1]

In Python ist List Comprehension ein elegantes Mittel, um pythagoreische Tripel zu bestimmen (Beispiel für alle Tripel mit c<100):

[(a,b,c) for a in range(1,100) for b in range(a,100) for c in range(b,100) if a*a + b*b == c*c]

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
  • Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Matrix-Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1.
  • Georges Ifrah: The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer. Translated from the French by David Bellos, E. F. Harding, Sophie Wood, and Ian Monk. First published in France with the title Histoire universelle des chiffres by Editions Robert Laffont, Paris, in 1994. Harvill Press, London 1998, ISBN 1-86046-324-X.
  • Andreas Loos, Hans-Joachim Rein: Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und einem Innenwinkel von 60°, 90° oder 120°. In: Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (MNU). 37. Jahrg., 1984, Heft 5, S. 275–279.
  • Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Georges Ifrah: The Universal History of Computing. From Prehistory to the Invention of the Computer. S. 151.
  2. Corinna Rossi: Mathematics and Architecture in Ancient Egypt. Cambridge UP 2003, S. 217. Sie zitiert Richard Parker: Demotic Mathematical Papyri. Brown University Press 1972, S. 3–4, 35–40.
  3. Rossi, loc. cit., S. 219. Die Chephren-Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 53 Grad käme demnach für die Verwendung von (3, 4, 5) in Betracht, die Rote Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 43 Grad für (20, 21, 29).
  4. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Matrix-Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-937715-71-1, S. 68.
  5. David Joyce: Euclids Elements.
  6. Dickson: History of the Theory of Numbers. Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 166.
  7. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 225.
  8. André Weil: Number theory. An approach through histroy from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser 1984, S. 8. Als Alternative gibt er die Formel   an, wobei die Babylonier entsprechend ihrem Zahlensystem auf Basis 60 für   nur Produkte von 2, 3, 5 genommen hätten und   und   sich durch systematisches Ausprobieren ergäben.
  9. Die letztgenannte Formel nennt schon Pythagoras (etwa 570–510 v. Chr.); vgl. Harald Scheid: Zahlentheorie. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1365-6, S. 225.
  10. Folge A267651 in OEIS