Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Überblick über die ausgezeichneten Punkte im Dreieck

In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten oder Zentren) eines Dreiecks in erster Linie die folgenden vier Punkte:

Umkreismittelpunkt (blau), Schwerpunkt (grün) und Höhenschnittpunkt (rot) liegen auf einer Geraden

Die drei erstgenannten Schnittpunkte (H, U und S) liegen immer auf einer Geraden, der eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.

Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle CentersBearbeiten

 
Dreieck mit den „klassischen“ ausgezeichneten Punkten und der eulerschen Geraden

Neben den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt), die schon in der Antike bekannt waren, wurden in den letzten Jahrhunderten viele weitere Punkte gefunden und untersucht. Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers (siehe Weblink) führt mehr als 41.000 (Stand 17. Februar 2021) besondere Punkte und ihre bislang bekannten Eigenschaften auf. Die in diesem Verzeichnis eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet. Die folgende Tabelle nennt einige wichtige Beispiele:

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Inkreismittelpunkt  
Schwerpunkt  
Umkreismittelpunkt  
Höhenschnittpunkt (Orthozentrum)  
Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises  
Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt)  
Gergonne-Punkt  
Nagel-Punkt  
Mittenpunkt  
Spieker-Punkt (Spieker-Zentrum)  
Feuerbachpunkt (Berührungspunkt von Inkreis und Feuerbachkreis)  
1. Fermat-Punkt (u. a. kürzester Abstand zu allen Eckpunkten)  
2. Fermat-Punkt  
1. isodynamischer Punkt  
2. isodynamischer Punkt  
1. Napoleon-Punkt  
2. Napoleon-Punkt  
Clawson-Punkt  
Longchamps-Punkt  
Schiffler-Punkt  
Exeter-Punkt  
Bevan-Punkt  
Kosnita-Punkt  
Steiner-Punkt  
Isoperimetrischer Punkt  
Punkt des gleichen Umwegs  
1. Vecten-Punkt  
2. Vecten-Punkt  

Verwandte ThemenBearbeiten

Neben Einzelpunkten lassen sich einem Dreieck auch verschiedene Tupel von Punkten zuordnen:

Spezielle Kreise sind:

Weitere spezielle Kegelschnitte sind:

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten