Ankreis

Kreise, die jeweils von einer Dreiecksseite von außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten tangential berührt werden

Die drei Ankreise gehören mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks, die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden.

Dreieck mit Ankreisen (rot)

Die Ankreise sind definiert als Kreise, die jeweils von einer Dreiecksseite von außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten tangential berührt werden. Jedes beliebige Dreieck besitzt drei Ankreise. Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Außenwinkel, die nicht zu dem Innenwinkel gehören.

RadienBearbeiten

Der Radius desjenigen Ankreises, der die Seite   ( ) im Inneren berührt, ergibt sich aus

 ,[1]

dabei steht   für den Flächeninhalt und   für den halben Umfang des Dreiecks:  .

Analog berechnen sich die Radien   und   der beiden anderen Ankreise.

Drückt man den Flächeninhalt nach dem Satz des Heron durch die Seitenlängen aus, so erhält man

 .

Für die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend

  und  .

BerührpunktabständeBearbeiten

 
Dreieck, Berührpunktabstände der Ankreise, gleichfarbige Abstände haben gleiche Längen

Bezeichnung

  •   ist der Abstand von   zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite   und mit der Verlängerung der Seite  
  •   ist der Abstand von   zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite   und mit der Verlängerung der Seite  [2]

Der Index   steht dafür, dass derjenige Ankreis betrachtet wird, der die Seite   im Dreieck und nicht in der Verlängerung berührt. Analog wird die Bezeichnung für die anderen zwei Ankreise gewählt.

Es gilt:

 
 
 

Dabei ist   der halbe Umfang des Dreiecks.

Nachweis: Die tangentiale Distanz von   zum Ankreis mit Mittelpunkt   liefert die Gleichheit der grünen Abschnitte bei   und entsprechend die blauen bei  . Die tangentiale Distanz von   zu demselben Kreis liefert dann die Gleichung  . Mit   folgt schließlich  . Analog ergeben sich die anderen Gleichungen.

MittelpunkteBearbeiten

Die Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende baryzentrische Koordinaten, wobei   den Mittelpunkt des Ankreises der Seite a repräsentiert:

  •  
  •  
  •  

Konstruktion der AnkreismittelpunkteBearbeiten

 
Dreieck, Konstruktion der Ankreismittelpunkte

Aus der Einleitung und dem obigen Bild Dreieck mit Ankreisen (rot) kann man folgendes schließen. Die drei Ankreismittelpunkte können auch allein mittels Halbierungen von drei Außenwinkeln gefunden werden, die als Winkelschenkel jeweils eine Seite sowie eine Verlängerung einer benachbarten Seite aufweisen.

Es beginnt mit den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks   über dessen Eckpunkte hinaus. Danach folgt z. B. die Winkelhalbierende   des Außenwinkels am Scheitel   mit den Winkelschenkeln Seite   und Verlängerung der Seite   ab   Die Winkelhalbierende   des Außenwinkels am Scheitel   mit den Winkelschenkeln Seite   und Verlängerung der Seite   ab   schließt sich an und liefert dabei, als Schnittpunkt mit  , den ersten Ankreismittelpunkt   Sind alle drei Ankreismittelpunkte gesucht, ist abschließend noch die Winkelhalbierende   des Außenwinkels am Scheitel   mit den Winkelschenkeln Seite   und Verlängerung der Seite   ab   erforderlich. Damit ergeben sich, als Schnittpunkte mit den bereits vorhandenen Winkelhalbierenden   und   auch noch die beiden Ankreismittelpunkte   und  

Weitere EigenschaftenBearbeiten

 
Dreieck   Inkreismittelpunkt
  • Die Ankreismittelpunkte   und   des Dreiecks   bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt   der Inkreismittelpunkt des Dreiecks   ist.
  • Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten der Ankreise, so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt, dem Nagel-Punkt.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Ankreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolf P. Barth: Geometrie. 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius). In: Universität Magdeburg. Mathematisches Institut der Universität Erlangen, 10. August 2004, S. 46, abgerufen am 1. September 2019.
  2. Wolf P. Barth: Geometrie. 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz). In: Universität Magdeburg. Mathematisches Institut der Universität Erlangen, 10. August 2004, S. 45, abgerufen am 31. August 2019.