Satz von Cayley

mathematischer Satz

Der Satz von Cayley ist ein nach dem englischen Mathematiker Arthur Cayley benannter Satz aus der Algebra. Er besagt, dass man jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe realisieren kann.

Dieses Ergebnis spielte für die Entwicklung der Gruppentheorie im 19. Jahrhundert eine wichtige Rolle, denn es stellt sicher, dass jede abstrakte Gruppe isomorph zu einer konkreten Gruppe von Permutationen ist. Anders gesagt, jede Gruppe lässt sich treu als Permutationsgruppe darstellen. Der Satz von Cayley bildet damit einen Ausgangspunkt der Darstellungstheorie, die eine gegebene Gruppe untersucht, indem sie ihre Darstellungen auf konkreten und gut verstandenen Gruppen nutzt.

Aussage des SatzesBearbeiten

Der Satz von Cayley besagt:

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Ausführlicher bedeutet das Folgendes:

Sei   eine Gruppe. Dann existiert eine Menge   und in der symmetrischen Gruppe   eine Untergruppe  , so dass   isomorph zu   ist.

Wenn die gegebene Gruppe   zudem endlich ist, kann man hierzu auch eine endliche Menge   wählen. Genauer gilt: Ist   von Ordnung  , dann ist   isomorph zu einer Untergruppe von  .

AnwendungenBearbeiten

Die praktische Bedeutung des Satzes von Cayley besteht darin, jede beliebige Gruppe   als Untergruppe einer konkreten Gruppe darzustellen. Als konkrete Gruppe betrachtet man hier eine symmetrische Gruppe   bestehend aus allen bijektiven Abbildungen einer Menge   in sich. Die Verknüpfung in der symmetrischen Gruppe   ist gegeben durch die Hintereinanderausführung  . Permutationsgruppen sind sehr praktisch in dem Sinne, dass man ihre Elemente (die Permutationen) bequem aufschreiben und leicht mit ihnen rechnen kann. Dies ist insbesondere in der Computeralgebra nützlich.

Auf theoretischer Ebene eröffnet der Satz von Cayley die Möglichkeit, die Theorie der Permutationsgruppen auf jede beliebige Gruppe anzuwenden. Man spricht von einer Permutationsdarstellung der gegebenen Gruppe. Daneben gibt es noch andere Möglichkeiten, Gruppen in spezieller Form darzustellen, zum Beispiel als Matrixgruppe, das heißt als Untergruppe einer linearen Gruppe. Man spricht dann von einer linearen Darstellung, siehe dazu den Artikel Darstellung (Gruppe).

Beweis des SatzesBearbeiten

Vor dem eigentlichen Beweis lohnt es sich, die wesentliche Idee an einem einfachen Beispiel zu illustrieren. Der nachfolgende Beweis formuliert dann die gemachten Beobachtungen nur aus.

Einführendes BeispielBearbeiten

Betrachten wir zur Illustration die Kleinsche Vierergruppe  , die wir hier durch die Menge   mit folgender Verknüpfungstafel darstellen:

  1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4 1 2
4 4 3 2 1

In der ersten Zeile sehen wir die Permutation   und in den folgenden Zeilen die Permutationen  ,  ,  . Diese Permutationen sind zueinander verschieden, die Abbildung   mit   ist also injektiv. Daraufhin kann man nun direkt nachrechnen, dass   ein Gruppenhomomorphismus ist, also   für alle   erfüllt. Dies folgt ganz allgemein aus den Gruppenaxiomen, wie wir nun zeigen werden.

Allgemeine KonstruktionBearbeiten

Sei   eine Gruppe. Als Menge wählen wir  . Für jedes Gruppenelement   definieren wir eine Abbildung   durch  . Diese Abbildung heißt Linksmultiplikation mit  .

  1. Die Assoziativität   für alle   und   ist gleichbedeutend mit  .
  2. Die Tatsache, dass   neutrales Element ist, also   für alle   erfüllt, ist gleichbedeutend mit  .
  3. Sind   zueinander inverse Elemente, also  , dann folgt daraus  .

Da in einer Gruppe   alle Elemente invertierbar sind, ist demnach jede der Abbildungen   bijektiv. Wir erhalten also einen Gruppenhomomorphismus   durch  . Dieser Homomorphismus ist injektiv: falls  , dann gilt insbesondere   und daher  . Damit ist   ein Isomorphismus zwischen der Gruppe   und der Untergruppe  .

BemerkungenBearbeiten

Der obige Beweis beruht auf der Beobachtung, dass die Linksmultiplikation eine Gruppenoperation der Gruppe   auf sich selbst ist, nämlich   mit  . Er zeigt sodann, dass jede Gruppenoperation   einen Gruppenhomomorphismus   induziert. Im speziellen Fall der Linksmultiplikation ist   sogar injektiv und wird die (links)reguläre Darstellung genannt.

Der Beweis lässt sich analog führen, wenn man statt der Linksmultiplikation die Rechtsmultiplikation mit dem Inversen verwendet. Er liefert dann unter Umständen eine andere Untergruppe von  , die aber ebenfalls isomorph zu   ist.

Minimale PermutationsdarstellungenBearbeiten

Anstelle der im obigen Beweis verwendeten Menge   kann man oft auch kleinere Mengen finden. Zum Beispiel liefert der Beweis eine Darstellung der alternierenden Gruppe   mit   Elementen als Untergruppe der  , obwohl die Menge   als Grundmenge   ausreichen würde, denn wir haben ja die Inklusion  .

Zu einer gegebenen Gruppe   kann man sich daher fragen, ab welchem Grad   ein injektiver Gruppenhomomorphismus   existiert (auch treue Permutationsdarstellung oder Einbettung genannt – siehe zu den in diesem Abschnitt geschilderten Fragen auch den Artikel Permutationsgruppe). Der Satz stellt klar, dass dies für   jedenfalls immer möglich ist. Es ist eine interessante und mitunter schwierige Frage, den minimalen Grad   zu bestimmen, für den dies möglich ist.

Interessanterweise gibt es Gruppen  , für die die reguläre Darstellung schon minimal ist, also  . Für eine solche Gruppe gibt es also Einbettungen   nur für  . Dies gilt zum Beispiel für jede zyklische Gruppe   von Primzahlordnung, denn keine symmetrische Gruppe   mit   enthält ein Element der Ordnung   (Satz von Lagrange). Gleiches gilt für jede zyklische Gruppe   deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist: keine symmetrische Gruppe   mit   enthält ein Element der Ordnung  . (Dies folgt aus der Zerlegung einer Permutation in ein Produkt disjunkter Zykel.) Auch die kleinsche Vierergruppe   der Ordnung   lässt sich in   aber nicht in   einbetten (ebenfalls nach dem Satz von Lagrange). Einen vollständigen Überblick verschafft folgendes Ergebnis:[1]

Für die folgenden Gruppen   ist die reguläre Darstellung bereits minimal, das heißt, es gibt Einbettungen   nur für  :

  1.  , die kleinsche Vierergruppe.
  2.  , eine zyklische Gruppen deren Ordnung eine Primzahlpotenz ist.
  3.  , eine verallgemeinerte Quaternionengruppe der Ordnung   mit  .

In den Fällen (2) und (3) ist jede Einbettung   mit   konjugiert zur regulären Darstellung.

Umgekehrt gilt, wenn für eine endliche Gruppe   die reguläre Darstellung minimal ist, dann ist   eine Gruppe aus dieser Liste. Für alle anderen Gruppen lässt sich also der Grad   aus dem Satz von Cayley noch reduzieren.

GeschichteBearbeiten

Der Satz wird allgemein Arthur Cayley zugeschrieben, der die Grundidee bereits 1854 in einem der ersten Artikel der Gruppentheorie formulierte.[2] Allerdings führt William Burnside[3] in seinem Buch über Gruppentheorie den vollständigen Beweis auf Camille Jordan[4] im Jahre 1870 zurück. Eric Nummela[5] argumentiert jedoch, dass die übliche Bezeichnung als Satz von Cayley durchaus korrekt ist: Cayley hatte in seiner Arbeit von 1854 gezeigt, dass die obige Abbildung in die symmetrische Gruppe injektiv ist, auch wenn er nicht explizit gezeigt hat, dass sie ein Gruppenhomomorphismus ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. David L. Johnson: Minimal permutation representations of finite groups. In: American Journal of Mathematics. 93, 1971, S. 857–866.
  2. Arthur Cayley: On the theory of groups as depending on the symbolic equation θn=1. In: Phil. Mag. 7, Nr. 4, 1854, S. 40–47.
  3. William Burnside: Theory of Groups of Finite Order, 2. Auflage 1911.
  4. Camille Jordan: Traité des substitutions et des équations algébriques. Gauthier-Villars, Paris 1870.
  5. Eric Nummela: Cayley's Theorem for Topological Groups. In: American Mathematical Monthly. 87, Nr. 3, 1980, S. 202–203. doi:10.2307/2321608.