Jacobische elliptische Funktion

mathematische Funktion

In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen. Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik, bei elliptischen Filtern und in der Geometrie, insbesondere für die Pendelgleichung und die Bogenlänge einer Ellipse. Carl Gustav Jakob Jacobi führte sie um 1830 ein. Carl Friedrich Gauß hatte jedoch schon 1796 mit dem lemniskatischen Sinus und Cosinus zwei spezielle Jacobische Funktionen untersucht, seine Notizen darüber aber nicht veröffentlicht. Für die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen spielen heute jedoch weniger die Jacobischen als vielmehr die Weierstraßschen elliptischen Funktionen eine Rolle.

Die drei grundlegenden Jacobischen FunktionenBearbeiten

Es gibt zwölf Jacobische elliptische Funktionen, von denen sich neun aus drei grundlegenden Funktionen bilden lassen. Gegeben sei ein Parameter  , der elliptische Modul, der der Ungleichung   genügt. Er wird oft auch als   angegeben, wobei  , oder als modularer Winkel  , wobei  . Daneben werden oft die sogenannten komplementären Parameter   sowie   verwendet. Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen sind dann

  • der sinus amplitudinis  ,
  • der cosinus amplitudinis  ,
  • das delta amplitudinis  .

Sie sind elliptische Funktionen und haben dementsprechend zwei Perioden. Insgesamt gelten für sie die folgenden Eigenschaften:

Funktion Perioden Nullstelle Polstelle
       
       
       
n und m sind ganze Zahlen

Hierbei hängen die Perioden   und   mit dem Parameter   über die elliptischen Integrale

 

zusammen. So hat   beispielsweise Nullstellen bei   und   sowie Polstellen bei   und  .

Speziell für   ergeben der Sinus amplitudinis bzw. der Cosinus amplitudinis bis auf eine Konstante die von Gauß eingeführten lemniskatischen Sinus- und Cosinusfunktionen

 

Für die Grenzfälle   und   ergeben die Jacobi-Funktionen die (nichtelliptischen) trigonometrischen Funktionen bzw. Hyperbelfunktionen:

Funktion k=0 k=1
     
     
     

DefinitionenBearbeiten

Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Jacobischen Funktionen.

Abstrakte Definition als spezielle meromorphe FunktionenBearbeiten

 
Hilfskonstruktion

Gegeben seien als freie Parameter der elliptische Modul   mit   und die wie oben davon abhängenden reellen Zahlen   und   mit

 

Ferner sei ein Rechteck mit den Seitenlängen   und   in der komplexen Ebene mit den Ecken   gegeben, dessen Ecke   im Ursprung liege und die Seitenlängen   und   habe. Die Seiten der Länge   seien dabei parallel zur reellen Achse, die der Länge   parallel zur imaginären Achse. Die Ecke   sei der Punkt   der Punkt   und   der Punkt   auf der imaginären Achse. Die zwölf Jacobischen elliptischen Funktionen bilden sich dann aus einer Buchstabenkombination  , wobei   und   jeweils einer der Buchstaben   sind.

Eine Jacobische elliptische Funktion   ist dann die eindeutige doppelt-periodische meromorphe Funktion, die die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

  • Die Funktion   hat bei   eine einfache Nullstelle und bei   eine einfache Polstelle.
  • Die Funktion   ist periodisch in Richtung  , wobei die Periode die doppelte Entfernung von   nach   ist. Ähnlich ist   periodisch in den beiden anderen Richtungen, jedoch mit einer Periode, die dem Vierfachen der Entfernung von   zu dem anderen Punkt entspricht.
  • Wird die Funktion   um den Eckpunkt   entwickelt, so lautet der führende Term einfach   (mit dem Koeffizienten 1), der führende Term der Entwicklung um den Punkt   ist  , und der führende Term der Entwicklung um die beiden anderen Eckpunkte ist jeweils 1.

Definition als Umkehrfunktionen elliptischer IntegraleBearbeiten

Die obige Definition als eindeutige meromorphe Funktion ist sehr abstrakt. Äquivalent kann eine Jacobische elliptische Funktion als eindeutige Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art definiert werden. Dies ist die übliche und vielleicht verständlichste Definition. Sei   ein gegebener Parameter mit  , und sei

 

also  . Dann sind die Jacobischen elliptischen Funktionen   und   gegeben durch

 
 

und

 

Der Winkel   ist dabei die Amplitude, für   heißt er Delta-Amplitude. Ferner genügt der freie Parameter   der Ungleichung  . Für   ist   die Viertelperiode  .

Die anderen neun Jacobischen elliptischen Funktionen werden aus diesen drei grundlegenden gebildet, siehe nächsten Abschnitt.

Definition mit Hilfe der Theta-FunktionenBearbeiten

Eine weitere Definition der Jacobi-Funktionen verwendet die Thetafunktionen. Seien   und   zwei reelle Konstanten mit   und  . Dann lauten die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen:

 
 
 

Dabei gilt:

 
  und  


Die abgeleiteten Jacobi-FunktionenBearbeiten

Üblicherweise werden die Kehrwerte der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen durch die Umkehrung der Buchstabenreihenfolge bezeichnet, also:

 
 
 

Die Verhältnisse der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen werden durch den jeweils ersten Buchstaben des Zählers und des Nenners bezeichnet, also:

 
 
 
 
 
 

Verkürzt können wir also schreiben

 

wobei   und   jeweils einer der Buchstaben   sind und   gesetzt wird.

AdditionstheoremeBearbeiten

Die Jacobi-Funktionen genügen den beiden algebraischen Beziehungen

 
 

Somit parametrisieren   eine elliptische Kurve, die die Schnittmenge der beiden durch die obigen Gleichungen definierten Quadriken darstellt. Ferner können wir mit den Additionstheoremen ein Gruppengesetz für Punkte auf dieser Kurve definieren:

 
 
 

Quadratische BeziehungenBearbeiten

 

mit  . Weitere quadratische Beziehungen können mit   und   gebildet werden, wobei   und   jeweils einer der Buchstaben   sind und   gesetzt wird.

Entwicklung als Lambert-ReiheBearbeiten

Mit   (auf engl. nome) und dem Argument   können die Funktionen in eine Lambert-Reihe entwickelt werden:

 
 
 

Die elliptischen Jacobi-Funktionen als Lösungen nichtlinearer DifferentialgleichungenBearbeiten

Die Ableitungen der drei grundlegenden elliptischen Jacobi-Funktionen lauten:

 
 
 

Mit den obigen Additionstheoremen sind sie daher für ein gegebenes   mit   Lösungen der folgenden nichtlinearen Differentialgleichungen:

  •   löst   und  
  •   löst   und  
  •   löst   und  

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten