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Quadrik

Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mehrerer Unbekannter
Quadriken im dreidimensionalen Raum: ein- und zweischaliges Hyperboloid, Ellipsoid, hyperbolisches Paraboloid, Zylinder, elliptisches Paraboloid und Kegel (von links nach rechts)

Eine Quadrik (von lateinisch quadra Quadrat) ist in der Mathematik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mehrerer Unbekannter. In zwei Dimensionen bildet eine Quadrik im Regelfall eine Kurve in der Ebene, wobei es sich dann um einen Kegelschnitt handelt. In drei Dimensionen beschreibt eine Quadrik im Regelfall eine Fläche im Raum, die auch Fläche zweiter Ordnung oder quadratische Fläche genannt wird. Allgemein handelt es sich bei einer Quadrik um eine algebraische Varietät, also um eine spezielle Hyperfläche, in einem endlichdimensionalen reellen Koordinatenraum. Durch eine Hauptachsentransformation lässt sich jede Quadrik auf eine von drei möglichen Normalformen transformieren. Auf diese Weise können Quadriken in verschiedene grundlegende Typen klassifiziert werden.

Quadriken werden insbesondere in der analytischen und der projektiven Geometrie untersucht. Anwendungen für Quadriken in Technik und Naturwissenschaften finden sich unter anderem in der Geodäsie (Referenzellipsoid), der Architektur (Tragwerkskonstruktion) oder der Optik (Parabolspiegel).

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Quadrik ist eine Punktmenge im  -dimensionalen reellen Koordinatenraum   der Form

 ,

wobei

 

ein quadratisches Polynom in den Variablen   ist. Mindestens einer der Polynomkoeffizienten   muss dabei ungleich null sein. Zudem kann ohne Einschränkung vorausgesetzt werden, dass   für alle   gilt. Eine Quadrik ist damit die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms mehrerer Variablen beziehungsweise die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit mehreren Unbekannten.

BeispieleBearbeiten

Zum Beispiel beschreibt die Menge der Punkte

 

eine Ellipse in der Ebene. Die Menge der Punkte

 

beschreibt ein einschaliges Hyperboloid im dreidimensionalen Raum.

EigenschaftenBearbeiten

MatrixdarstellungBearbeiten

In kompakter Matrixnotation kann eine Quadrik als eine Menge von Vektoren

 

beschrieben werden, wobei   eine symmetrische Matrix und   sowie   Spaltenvektoren entsprechender Länge sind. Mit Hilfe der erweiterten Darstellungsmatrix

 

und dementsprechend erweiterten Vektor   kann eine Quadrik auch kompakt durch die Menge

 

in homogenen Koordinaten dargestellt werden.

TypenBearbeiten

Bei Quadriken werden drei grundlegende Typen unterschieden. Die Entscheidung, um welchen Typ es sich bei einer gegebenen Quadrik handelt, kann anhand der Ränge der Matrizen  ,   und   getroffen werden:[1]

  • Kegeliger Typ:  
  • Mittelpunktsquadrik:  
  • Parabolischer Typ:  

Eine Quadrik heißt dabei ausgeartet, falls

 

gilt. Während nichtausgeartete Quadriken in allen Richtungen gekrümmte Hyperflächen bilden, weisen ausgeartete Quadriken in manchen Richtungen geradlinige Strukturen auf oder sind anderweitig degeneriert.

TransformationenBearbeiten

Quadriken lassen sich durch Ähnlichkeitsabbildungen transformieren, ohne dass sich ihr Typ dadurch verändert. Ist   eine reguläre Matrix, dann erhält man durch die lineare Transformation   eine neue Quadrik in den Koordinaten  , die der Gleichung

 

genügt. Ebenso erhält man durch eine Parallelverschiebung   um einen Vektor   eine neue Quadrik, die die Gleichung

 

mit der Einheitsmatrix   erfüllt. Insbesondere ändert sich der Rang der Matrizen   und   durch solche Affinitäten nicht.

Ist  , so lassen sich beide Methoden mittels   und   zu   kombinieren:

 

Da die Matrix   symmetrisch ist, ist sie orthogonal diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine orthogonale Matrix  , so dass   eine Diagonalmatrix ist. Damit kann die Quadrik durch die Bedingung

 

ausgedrückt werden. Es kommen also keine gemischt-quadratischen und keine linearen Terme mehr vor. Der Mittelpunkt der Quadrik liegt somit bei  .

NormalformenBearbeiten

Durch eine Hauptachsentransformation lässt sich jede Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren. Hierzu wird zunächst eine orthogonale Matrix  , beispielsweise eine Dreh- oder Spiegelungsmatrix, derart gewählt, dass   eine Diagonalmatrix ergibt, die die Eigenwerte von   in absteigender Reihenfolge enthält. Im zweiten Schritt wird die transformierte Quadrik derart um einen Vektor   verschoben, dass auch die linearen Terme und der konstante Term weitestgehend verschwinden. Schließlich wird die Quadrik noch so normiert, dass der konstante Term, sofern er nicht null ist, zu eins wird. Dadurch ergeben sich die folgenden drei Normalformen:[1]

  • Kegeliger Typ:     mit    
  • Mittelpunktsquadrik:     mit    
  • Parabolischer Typ:     mit    

Hinzu kommt als Spezialfall die

  • Leere Menge:     mit    

In allen Fällen sind die Koeffizienten  . Die Kennzahlen   und   ergeben sich dabei aus der Signatur der Matrix  .

KlassifikationBearbeiten

Quadriken in einer DimensionBearbeiten

In einer Dimension ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit einer Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

 .

Durch Verschiebung (quadratische Ergänzung) und Normierung lassen sich die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

Nicht ausgeartete Quadriken Ausgeartete Quadriken
Zwei Lösungen
 
  Eine Lösung
 
 

In dem verbleibenden Fall   ergibt sich als Lösungsmenge die leere Menge. In allen Fällen ist  .

Quadriken in der EbeneBearbeiten

In der Ebene ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

 .

Hierbei handelt es sich bis auf degenerierte Fälle um Kegelschnitte, wobei ausgeartete Kegelschnitte, bei denen die Kegelspitze in der Schnittebene enthalten ist, von nicht ausgearteten Kegelschnitten unterschieden werden. Durch Hauptachsentransformation lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:

Nicht ausgeartete Quadriken Ausgeartete Quadriken
Ellipse
 
  Zwei schneidende Geraden
 
 
Hyperbel
 
  Zwei parallele Geraden
 
 
Parabel
 
  Eine Gerade
 
 
Ein Punkt
 
 

In den beiden verbleibenden Fällen   und   ergibt sich als Lösungsmenge jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind  .

Quadriken im RaumBearbeiten

Im dreidimensionalen Raum ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit drei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

 .

Im Raum ist die Vielfalt der Quadriken deutlich größer als in der Ebene. Hier gibt es ebenfalls ausgeartete und nicht ausgeartete Quadriken. Unter den ausgearteten Quadriken finden sich dabei auch einfach gekrümmte Flächen, wie Zylinder und Kegel. Ähnlich wie in zwei Dimensionen lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:[2]

Nicht ausgeartete Quadriken Ausgeartete Quadriken (gekrümmte Flächen) Ausgeartete Quadriken (Ebenen u. a.)
Ellipsoid
 
  Elliptischer Kegel
 
  Zwei schneidende Ebenen
 
 
Einschaliges Hyperboloid
 
  Elliptischer Zylinder
 
  Zwei parallele Ebenen
 
 
Zweischaliges Hyperboloid
 
  Hyperbolischer Zylinder
 
  Eine Ebene
 
 
Elliptisches Paraboloid
 
  Parabolischer Zylinder
 
  Eine Gerade
 
 
Hyperbolisches Paraboloid
 
  Ein Punkt
 
 

In den drei verbleibenden Fällen  ,   und   ergibt sich als Lösungsmenge wiederum jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind  .

Für   (bzw.   im Fall des zweischaligen Hyperboloids) erhält man in folgenden Fällen Rotationsflächen, die auch als Drehquadriken bezeichnet werden: Rotationsellipsoid, ein- und zweischaliges Rotationshyperboloid, Rotationsparaboloid, Kreiskegel und Kreiszylinder. Regelflächen, also Flächen, die von einer einparametrigen Geradenschar erzeugt werden, sind Kegel, elliptischer und parabolischer Zylinder, Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. Die letzteren drei Flächen werden sogar von zwei Geradenscharen erzeugt und sind die einzig möglichen doppelt gekrümmten Regelflächen im Raum.

Projektive QuadrikenBearbeiten

Die Vielfalt der Quadriken verringert sich erheblich, wenn man sowohl den affinen Raum, in dem eine Quadrik definiert ist, als auch die Quadrik selbst projektiv abschließt. Die projektiven Erweiterungen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln sind projektiv alle zueinander äquivalent, das heißt, es gibt eine projektive Kollineation, die die eine Kurve auf die andere abbildet (siehe projektiver Kegelschnitt).

Im dreidimensionalen Raum sind folgende Quadriken äquivalent:

  • Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid und elliptisches Paraboloid,
  • einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid,
  • elliptischer, hyperbolischer, parabolischer Zylinder und Kegel.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Allgemeiner können Quadriken auch in Vektorräumen über einem beliebigen Körper, also auch über dem Körper der komplexen Zahlen oder auch über endlichen Körpern betrachtet werden.[3]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2011, ISBN 3-8274-2347-3, S. 719.
  2. Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. 6. Auflage. Springer, 2003, ISBN 978-3-540-41850-4, S. 345.
  3. Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1965, S. 155.

LiteraturBearbeiten

  • Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Teubner-Verlag, Leipzig 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 283.
  • Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band II, Teubner-Verlag, Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 341.
  • dtv-Atlas zur Mathematik. Band 1, Deutscher Taschenbuch-Verlag, ISBN 3-423-03007-0, S. 200–203.
  • Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 343.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Quadric surfaces – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Quadrik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen