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Hyperbelfunktion

mathematische Funktion
Sinus hyperbolicus (rot)
Kosinus hyperbolicus (blau)
Tangens hyperbolicus (grün)
Kosekans hyperbolicus (rot)
Sekans hyperbolicus (blau)
Kotangens hyperbolicus (grün)

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.

DefinitionBearbeiten

 
Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel   im Punkt  , wobei   die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der  -Achse, und der Hyperbel ist.

Definition über die ExponentialfunktionBearbeiten

Mittels der Exponentialfunktion können   und   wie folgt definiert werden:

 
 

Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode). Die Potenzreihen von   und   lauten

 

wobei der Ausdruck   für die Fakultät von  , das Produkt der ersten   natürlichen Zahlen steht. Im Gegensatz zu den Potzenreihenentwicklungen von   und   haben alle Terme ein positives Vorzeichen.

Geometrische Definition mit Hilfe der HyperbelBearbeiten

Wegen ihrer Verwendung zur Parametrisierung der Einheitshyperbel  :

 

werden sie Hyperbelfunktionen genannt, in Analogie zu den Kreisfunktionen Sinus und Kosinus, die den Einheitskreis   parametrisieren:

 

Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche  , die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der  -Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist   die (positive)  -Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und   die dazugehörige  -Koordinate;   ist die  -Koordinate der Geraden bei  , d. h. die Steigung der Geraden.

Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Eigenschaften der reellen HyperbelfunktionenBearbeiten

 
Graph der reellen Hyperbelfunktionen
  • Für alle reellen Zahlen   sind auch   und   reell.
  • Die reelle Funktion   ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
  • Die reelle Funktion   ist für Werte   streng monoton fallend, für Werte   streng monoton steigend und besitzt bei   ein globales Minimum.

Wegen   gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen, die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind, auch für die Funktionen, die auf die reellen Zahlen eingeschränkt sind.

Eigenschaften der komplexen HyperbelfunktionenBearbeiten

Für alle komplexen Zahlen   gilt:

Symmetrie und PeriodizitätBearbeiten

  •  , d. h. sinh ist eine ungerade Funktion.
  •  , d. h. cosh ist eine gerade Funktion.
  •  ,

d. h. es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge  .

AdditionstheoremeBearbeiten

  •  
  •  
  •  

ZusammenhängeBearbeiten

 
 
 

AbleitungBearbeiten

Die Ableitung des Sinus hyperbolicus lautet:

 .

Die Ableitung des Kosinus hyperbolicus lautet:

 .

Die Ableitung des Tangens hyperbolicus lautet:

 .

DifferentialgleichungBearbeiten

Die Funktionen   und   bilden wie   und   eine Lösungsbasis (Fundamentalsystem) der linearen Differentialgleichung

 .

Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen   dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung noch  ,  und  , , so sind sie bereits eindeutig durch   und   festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.

Bijektivität der komplexen HyperbelfunktionenBearbeiten

sinhBearbeiten

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

 
 

Dann bildet die komplexe Funktion   den „Streifen“   bijektiv auf   ab.

coshBearbeiten

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

 
 

Dann bildet die komplexe Funktion   den „Streifen“   bijektiv auf   ab.

Alternative NamenBearbeiten

  • Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
  • Für   sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
  • Für   sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich. Der Graph entspricht der Kettenlinie (Katenoide).

Abgeleitete FunktionenBearbeiten

  • Tangens hyperbolicus:  
  • Cotangens hyperbolicus:  
  • Secans hyperbolicus:  
  • Kosecans hyperbolicus:  

UmrechnungstabelleBearbeiten

Funktion            
             
             
             
             
             
             

UmkehrfunktionenBearbeiten

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

LiteraturBearbeiten

  • Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).

WeblinksBearbeiten

  Commons: Hyperbolic functions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien