Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Der Rogers-Ramanujan-Kettenbruch ist eine mathematische elliptische Funktion. Sie wurde von Leonard James Rogers und Srinivasa Ramanujan entdeckt. Diese Funktion entsteht als Produkt der Fünften-Wurzel-Funktion und des Quotienten der Rogers-Ramanujan-Identitäten $H(x)/G(x)$.

Definition

Domänenfärbungsdiagramm des Konvergenzbereichs $A_{400}(x)/B_{400}(x)$ der Funktion $R(x)/x^{1/5}$

Domänenfärbungsdiagramm der Funktion $R(x)$

Folgende Formel beschreibt die Definition des Rogers-Ramanujan-Kettenbruchs R(x):

$R(x)={\cfrac {x^{1/5}}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{1+{\cfrac {x^{3}}{1+{\cfrac {x^{4}}{1+{\cfrac {x^{5}}{1+{\cfrac {x^{6}}{1+{\cfrac {x^{7}}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}$

Diese Funktion steht mit den Rogers-Ramanujan-Identitäten in folgendem Zusammenhang:

$G(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{\Box (n)}}{(x;x)_{n}}}=(x;x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{4};x^{5})_{\infty }^{-1}$

$H(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2\bigtriangleup (n)}}{(x;x)_{n}}}=(x^{2};x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{3};x^{5})_{\infty }^{-1}$

$R(x)=x^{1/5}{\frac {H(x)}{G(x)}}$

Mit dem Viereck wird die $n$-te Quadratzahl und mit dem Dreieck die $n$-te Dreieckszahl

$\Delta _{n}={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$

dargestellt. Und mit $(a;b)_{n}$ wird das Pochhammer-Symbol ausgedrückt:

$(a;b)_{n}=\prod _{m=0}^{n-1}(1-ab^{m})$

Hierbei muss $n$ eine natürliche Zahl sein.

Direkt formuliert gilt somit diese Pochhammer-Darstellung:

$R(x)=x^{1/5}(x;x^{5})_{\infty }(x^{4};x^{5})_{\infty }(x^{2};x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{3};x^{5})_{\infty }^{-1}$

Die rechte Seite lässt sich auch als unendliches Produkt darstellen:

$R(x)=x^{1/5}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-x^{5n-1})(1-x^{5n-4})}{(1-x^{5n-2})(1-x^{5n-3})}}$

Analog hierzu ist der alternierende Kettenbruch S(x) so definiert:

$S(x)={\cfrac {x^{1/5}}{1-{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{1-{\cfrac {x^{3}}{1+{\cfrac {x^{4}}{\ddots }}}}}}}}}}$

Wenn bei der Definition von $R(x)$ der Wert $x=1$ eingesetzt wird, dann entsteht der Kettenbruch für den Kehrwert der goldenen Zahl, der gleich dem Vorgänger der goldenen Zahl ist. Der reelle Definitionsbereich der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion nach der Definition über das Pochhammer-Produkt ist das Intervall $\left[0,1\right]$, ihre Bildmenge $\left[0,1/\Phi \right]$. In diesem Intervall ist diese Funktion bijektiv. Das Kürzel $\Phi :=({\sqrt {5}}+1)/2$ steht für die Goldene Zahl. Für reelle $x>1$ spaltet sich die Funktion nach der Definition über den Kettenbruch zu einer surjektiven Funktion auf. Denn ab diesem Bereich werden jedem $x$ zwei $y$ zugeordnet. Für $x=0$ beginnt der Graph der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion $R(x)$ mit senkrechter Steigung und geht in einen rechtsgekrümmten Verlauf über. Für alle Werte $0<x\leq 1$ ist $R(x)$ positiv. Zuerst entdeckte Leonard James Rogers diese Funktion im Jahre 1894. Danach entdeckte Srinivasa Ramanujan dieselbe Funktion im Jahre 1913 unabhängig von Rogers. Als dritter Mathematiker entdeckte Issai Schur diese Funktion im Jahre 1917 unabhängig von den beiden zuvor genannten Personen. Beide Mathematiker erkannten dabei den Zusammenhang der Dedekindschen Etafunktion und der Thetafunktion mit ihrer Kettenbruchfunktion. Besondere Bedeutung erlangte die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion beim Lösen von quintischen Gleichungen in der Bring-Jerrard-Form.

Literatur

• Peter Borwein und Jonathan Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley, 1987. S. 94–97.
• Bruce Berndt, Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son: The Rogers–Ramanujan Continued Fraction. Journal of Computational and Applied Mathematics, Band 105, 1999, S. 9–24, online.
• Soon Yi Kang: Ramanujan’s Formulas For Explicit Evaluation Of The Rogers-Ramanujan Continued Fraction And Theta-Functions, Acta Arithmetica, Band 90, 1999, S. 49–68, online.
• Jinhee Yi: Evaluations of the Rogers–Ramanujan continued fraction R(q) by modular equations. Acta Arithmetica, Band 97, 2001, S. 103–127, online.
• Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015.
• Nikolaos Bagis: Solution of Polynomial Equations with Nested Radicals. Arxiv 2014, 2020.
• Heng Huat Chan, Wen Chin Liaw und Shaun Cooper: The Rogers-Ramanujan continued fraction and a quintic iteration for 1/π. Proceedings of the American Mathematical Society, Band 135, Nr. 11, 2007, S. 3417–3424.
• Shaun Cooper und Dongxi Ye: Explicit evaluations of a level 13 analogue of the Rogers–Ramanujan continued fraction. J. Number Theory, Band 139, 2014, S. 91–111, online.
• Viktor V. Prasolov: Polynomials. Algorithms and Computation in Mathematics Nr. 111, Springer, 2004, S. 181–218 (Kapitel Galois Theory, Theorem 5.4.5 auf S. 217).
• Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs, Volume 170, Rhode Island, 1991, S. 149–159.
• William Duke: Continued Fractions and Modular Functions. Bulletin of the Amer. Math. Soc., Band 42, 2005, S. 137–162, online.
• Dae Hyun Paek, Jinhee Yi: On some modular equations of degree 5 and their applications. Bulletin Korean Math. Soc., Band 50, 2013, S. 1315–1328.