Laurent-Reihe

Zerlegung einer komplex differenzierbaren Funktion
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Die Laurent-Reihe (nach Pierre Alphonse Laurent) ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in mit Entwicklungspunkt diese Gestalt:

Dabei sind die und meist komplexe Zahlen, es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt Formale Laurent-Reihe weiter unten beschrieben sind. Für komplexe Laurent-Reihen benutzt man meist die Variable anstatt .

Summanden, in denen ist, werden meist nicht mitgeschrieben, deshalb muss nicht jede Laurent-Reihe in beide Richtungen ins Unendliche reichen. Genauso wie es bei Potenzreihen gehandhabt wird und ähnlich wie bei der Darstellung abbrechender Dezimalbrüche, bei denen formal unendlich viele Nullen hinter der letzten Ziffer stehen.

Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil oder den regulären Teil.

Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine Potenzreihe; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein Polynom. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom.

Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker Pierre Alphonse Laurent vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers Karl Weierstraß deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte.

Laurent-ZerlegungBearbeiten

Das Prinzip der Entwicklung einer holomorphen Funktion in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet  . Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen   und  :

 
 .

Das heißt, die Funktionen   und   sind auf einer Kreisscheibe von Radius   bzw.   um den Mittelpunkt holomorph. Da das Argument der Funktion   innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion   für Werte   definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen

 

auf dem Kreisring   analytisch. Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch   voraus, so ist die Zerlegung eindeutig.

Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen, so ergibt sich folgende Darstellung:

 .

Dabei wurde   definiert. Außerdem folgt   aus der Bedingung  . Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt  , und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion   um den Entwicklungspunkt  :

 

BeispielBearbeiten

Im Folgenden bezeichnet   wahlweise die reellen oder komplexen Zahlen.

 .

Die Funktion ist unendlich oft reell differenzierbar, sie ist jedoch an der Stelle   nicht komplex differenzierbar und hat dort sogar eine wesentliche Singularität.

Indem man nun   in die Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion einsetzt, erhält man die Laurent-Reihe von   mit Entwicklungspunkt  :

 
Annäherung der Laurentreihen für unterschiedliche   an die Funktion  .
 

Sie konvergiert für jede komplexe Zahl  .

Das Bild rechts zeigt, wie sich die Partialsummenfolge

 

an die Funktion annähert.

Konvergenz von Laurent-ReihenBearbeiten

Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der Funktionentheorie, vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit isolierten Singularitäten.

Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem Kreisring holomorph sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer Kreisscheibe holomorph sind.

Sei

 

eine Laurent-Reihe in   mit komplexen Koeffizienten   und Entwicklungspunkt  . Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen   und  , so dass Folgendes gilt:

  • Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring   normal, also insbesondere absolut und lokal gleichmäßig. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge von  , also insbesondere auf den Bildern von Kurven in  . Die Laurent-Reihe definiert auf   eine holomorphe Funktion  .
  • Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von  ,  , die Reihe der Terme mit positiven oder die Terme mit negativen Exponenten divergiert.
  • Auf dem Rand des Kreisrings kann man keine allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die   nicht holomorph fortgesetzt werden kann.

Es ist möglich, dass   und   ist, es kann aber auch sein, dass   ist. Die beiden Radien können wie folgt mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

 
 

Man setzt   und   in der zweiten Formel.

Umgekehrt kann man mit einem Kreisring   und einer auf   holomorphen Funktion   beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt  , die (mindestens) auf   konvergiert und dort mit   übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt

 

für alle   und ein  . Wegen des Integralsatzes von Cauchy kommt es auf die Auswahl von   nicht an.

Der Fall  , also der einer holomorphen Funktion   auf einer gelochten Kreisscheibe um  , ist besonders wichtig. Der Koeffizient   der Laurentreihenentwicklung von   heißt Residuum von   in der isolierten Singularität  , er spielt eine große Rolle im Residuensatz.

Formale Laurent-ReiheBearbeiten

Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in einer Unbestimmten  , für deren Konvergenzverhalten an einem Entwicklungspunkt (wie dem   in der Einleitung) man sich (zumindest zunächst) nicht interessiert. Die Koeffizienten   können dann aus einem beliebigen kommutativen Ring   mit Einselement stammen. Üblicherweise werden formale Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten betrachtet, also mit einem so genannten endlichen Hauptteil.

Damit entsprechen die formalen Laurent-Reihen unendlichen Folgen aus  , bei denen nur endlich viele Koeffizienten mit negativem Index von Null verschieden sind. Die Unbestimmte   entspricht der Folge

  mit   und   für  ,

also

     
   
Index   0 1

Zwei formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem die Koeffizienten mit gleichem Index (also komponentenweise) addiert werden, und, weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch Faltung ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen zu einem kommutativen Ring, der mit   bezeichnet wird.

Ist   ein Körper, dann bilden die formalen Potenzreihen in der Unbestimmten   über   einen Integritätsring, der mit   bezeichnet wird. Sein Quotientenkörper ist isomorph zum Körper   der Laurent-Reihen über  .

LiteraturBearbeiten