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In der Analysis beschreibt gleichmäßige Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge , mit einer vom Funktionsargument unabhängigen „Geschwindigkeit“ gegen eine Grenzfunktion zu konvergieren. Im Gegensatz zu punktweiser Konvergenz erlaubt der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz, wichtige Eigenschaften der Funktionen wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Riemann-Integrierbarkeit, auf die Grenzfunktion zu übertragen.[1]

Inhaltsverzeichnis

GeschichteBearbeiten

Der Begriff wird üblicherweise Karl Weierstraß in den 1840er Jahren zugeschrieben (zuerst in einer Schrift 1841, die aber erst 1894 publiziert wurde), der ihn wiederum schon bei seinem Lehrer Christoph Gudermann (1838) angedeutet fand, und fehlte noch im ursprünglichen Aufbau der Analysis nach Augustin-Louis Cauchy. Das führte zu einigen Fehlern in Cauchys Cours d'Analyse von 1821, insbesondere beim sogenannten Cauchyschen Summensatz. Cauchy behauptete bewiesen zu haben, dass eine konvergente Reihe stetiger Funktionen stetig ist, wozu aber schon bald darauf 1826 Niels Henrik Abel ein Gegenbeispiel gab. Dass der Satz gilt, wenn punktweise Konvergenz durch gleichmäßige Konvergenz ersetzt wird (nach heutigem Verständnis), bewiesen unabhängig Philipp Ludwig Seidel (unendlich langsame Konvergenz)[2] und George Gabriel Stokes 1847[3] (infinitely slow convergence, Punkte mit non uniform convergence). Seidel knüpfte dabei direkt an Cauchy und an Peter Gustav Lejeune Dirichlet an, der Beispiele von Fourierreihen gegeben hatte, die gegen unstetige Funktionen konvergieren. Stokes dagegen bezog sich nicht auf Cauchy, sondern auf einen Aufsatz über Potenzreihen von John Radford Young von 1846. Nach Ivor Grattan-Guinness kam möglicherweise der Schwede Emanuel G. Björling (1846/47) zu den beiden als Urheber des Konzepts hinzu. Es gab auch eine Diskussion darüber (Pierre Dugac 2003), ob Cauchy den Begriff (und den verwandten der gleichmäßigen Stetigkeit) schon wenig später 1823 in einem weiteren Lehrbuch kannte und implizit benutzte[4]. Eine Gruppe von Mathematikhistorikern und Mathematikern wie Detlef Laugwitz und Abraham Robinson versuchte Cauchys Beweis später zu retten, indem die Idee verfolgt wurde, Cauchy, der selbst unendlich kleine Größen explizit in seinem Lehrbuch einführte, hätte eine Form von Nichtstandardanalysis benutzt, was sich aber bei den meisten Cauchy-Forschern nicht durchsetzte und als Beispiel einer aus moderner Sichtweise aufgezwungenen Interpretation der Mathematikgeschichte gewertet wurde. Klaus Viertel kam in seinem Buch[5] zu einem differenzierteren Bild einer erst allmählichen Ausprägung der Begriffe von Stetigkeit und Konvergenz im heutigen Sinn selbst im Rahmen der Weierstraß-Schule, wo der Begriff ebenfalls im Lauf der Zeit einem Wandel unterworfen war. Anfang des 20. Jahrhunderts gab es bereits verschiedene Weiterentwicklungen des Begriffs (Quasi-Konvergenz bei Godfrey Harold Hardy 1918, William Henry Young 1903, 1907).

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien eine Funktionenfolge

 ,

die jeder natürlichen Zahl   eine reellwertige Funktion zuordnet, und eine Funktion  . Alle   sowie   seien auf derselben Definitionsmenge   definiert. Die Folge   konvergiert genau dann gleichmäßig gegen  , wenn

 

Man betrachtet hier die absolute Differenz von   und   für alle   aus dem Definitionsbereich. Die Menge dieser Differenzen ist entweder unbeschränkt oder hat eine kleinste obere Schranke, ein Supremum. Gleichmäßige Konvergenz von   gegen   bedeutet, dass dieses Supremum für fast alle   existiert und gegen Null geht, wenn   gegen unendlich strebt.

Man kann diesen Sachverhalt auch anders definieren: Alle Bezeichnungen seien wie oben. Dann konvergiert   gleichmäßig gegen   genau dann, wenn für alle   ein   existiert, so dass für alle   und für alle   gilt:

 

BeispielBearbeiten

Es sei   eine reelle Zahl. Die Funktionenfolge   konvergiert für   gleichmäßig gegen die Nullfunktion  . Dafür ist zu zeigen, dass

 .

Jedes der   ist auf   nicht-negativ und monoton steigend, also   und wegen   geht dies gegen  .

Die Angabe des Konvergenzbereiches ist hierbei unerlässlich: Die Folge   konvergiert auf dem rechtsoffenen Einheitsintervall   zwar immer noch punktweise gegen die Nullfunktion, jedoch nicht mehr gleichmäßig. Es gilt nun  , insbesondere ist also

 .

Vergleich zwischen gleichmäßiger und punktweiser KonvergenzBearbeiten

Die Wahl von   bei gleichmäßiger Konvergenz hängt nur von   ab. Im Gegensatz dazu hängt bei punktweiser Konvergenz   sowohl von   als auch von   ab. Formuliert man beide Konvergenzbegriffe mithilfe von Quantoren, so sieht man, dass sie sich in der Reihenfolge der „Einführung“ von   und   und damit der Abhängigkeit der zwei Variablen voneinander unterscheiden (siehe das Unterstrichene):

punktweise Konvergenz:   und
gleichmäßige Konvergenz:  

d. h., für punktweise Konvergenz muss es für jedes   und für jedes   eine natürliche Zahl   geben, so dass für alle   gilt:  .

Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt. Beispielsweise konvergiert die Funktionenfolge   definiert durch

 

punktweise gegen die Nullfunktion   für jedes  , ist aber keine gleichmäßig konvergente Folge.

BezeichnungBearbeiten

Für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge  , die gegen   strebt, wird meistens eine der folgenden Bezeichnungen verwendet[6][7]

 

oder

 

oder

 

Gleichmäßige Konvergenz in einem PunktBearbeiten

Eine Funktionenfolge   heißt in dem Punkt   gegen   gleichmäßig konvergent, wenn

 

Wenn statt für alle   die Gültigkeit der Ungleichung   für mindestens ein   verlangt wird, dann heißt die Konvergenz uniform. Gleichmäßig konvergente Folgen sind auch uniform konvergent. Die uniforme Konvergenz impliziert keine punktweise Konvergenz.[8]

Sei

  •   die Klasse der gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen,
  •   die Klasse der in jedem Punkt gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen und
  •   die Klasse der in jedem Punkt punktweise konvergenten Funktionenfolgen.

Damit gilt:  .

Die oben erwähnte Funktionenfolge   liegt in  , ist also in jedem Punkt gleichmäßig konvergent, aber nicht global.

Ein Beispiel für eine Funktionenfolge aus   ist   definiert durch

 

Die Funktionenfolge   konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl   liegt in allen  , deren   gleich oder größer ist als der Nenner in der vollständig gekürzten Darstellung des Bruches  . Andererseits liegen im Schnitt einer   und einem beliebigen Intervall immer nur endlich viele rationale Zahlen. Daher gibt es zu jedem   und jeder Zahl   stets (unendlich viele rationale) Zahlen, deren Abstand zu   beliebig klein ist und die nicht in   liegen. Also konvergiert die Folge   in keinem Punkt gleichmäßig.

FolgerungenBearbeiten

Wie schon erwähnt, ermöglicht der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz ausgehend von Eigenschaften der Folge Aussagen über die Grenzfunktion, was bei punktweiser Konvergenz nicht möglich ist. Im Folgenden seien die Bezeichnungen wie bei der Definition oben,   sei ein reelles Intervall. Es ergeben sich folgende Sätze:

StetigkeitBearbeiten

  • Es sei   eine Folge stetiger Funktionen. Wenn   gleichmäßig gegen   konvergiert, dann ist   stetig. Anstatt gleichmäßige Konvergenz zu fordern, ist es auch ausreichend, von einfach-gleichmäßiger Konvergenz auszugehen.
  • Sei   eine gegen   punktweise konvergente Funktionenfolge. Alle   seien noch dazu in   stetig.   ist in   stetig genau dann, wenn   in dem Punkt   uniform konvergent ist.[8]
  • Die Menge der Punkte gleichmäßiger Konvergenz sowie die Menge der Punkte uniformer Konvergenz einer überall punktweise konvergenten Funktionenfolge sind jeweils Gδ-Mengen.[8]
  • Die gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen mit kompaktem Definitionsbereich sind alle gleichgradig stetig.[6]
  • Sei   ein kompaktes Intervall und   eine auf   gleichgradig stetige Folge. Wenn   punktweise gegen   konvergiert, dann konvergiert sie auch gleichmäßig.
  • Sei   eine Funktionenfolge mit kompaktem Definitionsbereich  .   besitzt genau dann eine gleichmäßig konvergente Teilfolge, wenn   gleichgradig stetig ist und in jedem Punkt von   beschränkt ist (Satz von Arzelà-Ascoli).[6]

DifferenzierbarkeitBearbeiten

Für die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion ergibt sich kein derart starkes Resultat wie für die Stetigkeit. Es seien die   differenzierbar auf   und gleichmäßig konvergent gegen  . Im Allgemeinen braucht die Grenzfunktion nicht einmal differenzierbar zu sein, und wenn sie es ist, muss ihre Ableitung keineswegs gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Folge sein. So konvergiert z. B. die durch   definierte Funktionenfolge gleichmäßig gegen 0, die Folge der Ableitungen   aber nicht.
Allgemein kann man sagen: Es seien alle   differenzierbar. Wenn   in einem Punkt konvergiert und die Folge der Ableitungen   gleichmäßig gegen   konvergiert, dann konvergiert   punktweise (sogar lokal gleichmäßig) gegen ein   und   ist differenzierbar mit der Ableitung  .

IntegrierbarkeitBearbeiten

Für das Riemann-Integral auf Intervallen kann bei gleichmäßiger Konvergenz Integration und Grenzwertbildung vertauscht werden:

Es seien alle   (Riemann-)integrierbar. Wenn   gleichmäßig gegen   konvergiert, dann ist   Riemann-integrierbar, und das Integral von   ist der Grenzwert der Integrale der  .

Ein Beispiel für eine punktweise, jedoch nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolge, bei der das Integral nicht mit dem Grenzwert vertauscht werden kann, liefert diese Funktionenfolge: Für jedes   ist die Funktion   definiert durch

 

stetig und daher Riemann-integrierbar. Für das Integral gilt

 .

Die Funktionenfolge   konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion   für alle  . Somit ist

 

Punktweise Konvergenz reicht also nicht aus, damit Grenzwert und Integralzeichen vertauscht werden dürfen.

Satz von DiniBearbeiten

Wenn   ein kompaktes Intervall und   eine monotone Folge stetiger Funktionen ist (d. h.    oder    für jedes   und beliebiges  ), die punktweise gegen eine ebenfalls stetige Funktion   konvergiert, dann konvergiert   auch gleichmäßig.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Gleichmäßige Konvergenz komplexer FunktionenfolgenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Die gleichmäßige Konvergenz für komplexe Funktionenfolgen wird genau so wie im Falle von reellen Funktionenfolgen definiert. Eine Funktionenfolge

 

heißt gegen

 

gleichmäßig konvergent, wenn

 

Chordal gleichmäßige KonvergenzBearbeiten

  heißt chordal gleichmäßig konvergent, wenn

 

wobei

 

die Bezeichnung für chordalen Abstand ist.

Sei

  •   die Klasse der auf   gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen,
  •   die Klasse der auf   chordal gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen und
  •   die Klasse der auf   gegen eine in   beschränkte Funktion punktweise konvergenten Funktionenfolgen.

Es gilt

 

EigenschaftenBearbeiten

Ähnlich wie bei der gleichmäßigen Konvergenz reeller Funktionenfolgen können auch im Komplexen der gleichmäßige Grenzwert mit dem Differential oder dem Kurvenintegral vertauscht werden.

Gleichmäßige Konvergenz μ-fast überallBearbeiten

Die gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall ist eine maßtheoretische Abwandlung der gleichmäßigen Konvergenz. Sie fordert die gleichmäßige Konvergenz nur auf fast allen Punkten. Auf einer Nullmenge muss also keine gleichmäßige Konvergenz oder sogar überhaupt keine Konvergenz vorliegen. Die gleichmäßige Konvergenz entspricht der Konvergenz im p-ten Mittel für den Grenzfall   und kann damit über die entsprechenden Integralnormen mittels des wesentlichen Supremums in die Theorie der Lp-Räume eingebettet werden. Man spricht dann auch von der Konvergenz in  .

Fast gleichmäßige KonvergenzBearbeiten

Wie auch die gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall ist die fast gleichmäßige Konvergenz eine Maßtheoretische Variante der gleichmäßigen Konvergenz. Sie fordert, dass auf dem Komplement einer Menge beliebig kleinen Maßes gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Dies ist eine echte Verschärfung der gleichmäßigen Konvergenz μ-fast überall.

Gleichmäßige Konvergenz in metrischen RäumenBearbeiten

Sei   eine Menge,   ein metrischer Raum und   eine Funktionenfolge. Diese Funktionenfolge heißt gleichmäßig konvergent gegen  , wenn für alle   ein   existiert, so dass  

 

gilt.

Gleichmäßige Konvergenz in uniformen RäumenBearbeiten

Völlig analog lässt sich gleichmäßige Konvergenz für Funktionen in einen uniformen Raum   mit einem System von Nachbarschaften   definieren: Ein Filter (oder allgemeiner eine Filterbasis)   auf der Menge der Funktionen   für eine Menge   konvergiert genau dann gegen eine Funktion  , wenn für jede Nachbarschaft   ein   existiert, sodass

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Viertel: Geschichte der gleichmäßigen Konvergenz, Springer 2014

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. St. Goebbels, St. Ritter: Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Spektrum, Heidelberg 2011. ISBN 978-3-8274-2761-8, S. 360–369.
  2. Seidel, Note über eine Eigenschaft der Reihen, welche discontinuirliche Functionen darstellen. In: Abhandlungen der Mathem.-Physikalische Classe der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 5, 1847, S. 381–394. Von Heinrich Liebmann 1900 in der Reihe Ostwalds Klassiker mit einem Aufsatz von Dirichlet (1837) neu herausgegeben.
  3. Stokes, On the critical values of sums of periodic series, 1847, in: Stokes, Mathematical and Physical Papers, Band 1, Cambridge UP 1880, S. 237, Archive
  4. In dem Buch von Klaus Viertel wird das bezweifelt, ebenso wie die Schlussfolgerung von Alfred Pringsheim in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften (1899) Cauchy hätte 1853 den Begriff gleichmäßige Konvergenz scharf definiert und unabhängig von Seidel und Stokes gefunden.
  5. Klaus Viertel, Geschichte der gleichmäßigen Konvergenz, Springer 2014
  6. a b c H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. B. G. Teubner, Stuttgart 1984, ISBN 3-519-22221-3, Teil 1, XIII., 103., 106.
  7. V. Zorich: Analysis II. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-46231-6.
  8. a b c F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. 1914, Chelsea Publishing Co., New York 1949, Kap. IX, § 4.

WeblinksBearbeiten