Der Begriff Unbestimmte (engl. indeterminate) wird in der Mathematik und dort insbesondere in der abstrakten Algebra für eine freie Erzeugende eines Polynomrings oder eines formalen Potenzreihenrings verwendet. Man notiert sie vorzugsweise als Großbuchstaben, bspw. oder auch Unabhängig von einem erforderlichen (unitären) Grundring in dem sich die Koeffizienten der Polynome oder Potenzreihen befinden, erzeugen die Unbestimmten ein freies Monoid (Halbgruppe mit Eins), das stets multiplikativ geschrieben und meist kommutativ gebraucht wird.

Aber auch wenn Inverse von Elementen dazu kommen, so dass eine (freie, kommutative oder nicht kommutative) Gruppe ist, spricht man von Unbestimmten.

So betrachtet ist eine Unbestimmte nicht mehr als ein Symbol , das (direkt oder auch in seiner inversen Form ) mit anderen solchen zu Symbolfolgen zusammengestellt wird. In den genannten Anwendungen Polynom und Potenzreihe „markiert“ eine solche Folge von Symbolen (ein „Wort“) einen Koeffizienten aus dem Grundring . Koeffizientenvergleich und Rechenregeln (wie die komponentenweise Addition) beziehen sich auf diese Markierung.

Eine Unbestimmte kann niemals Nullstelle eines Polynoms sein und entspricht in dieser Hinsicht einer Transzendenten.

Der Polynomring in der Unbestimmten über wird mit und der Ring der formalen Potenzreihen mit bezeichnet.

Monoid, GruppeBearbeiten

Für die Verkettung von   Symbolen   verwendet man die (übliche) Potenzschreibweise

 

und hat

 

Sind mehrere Unbestimmte beteiligt, dann werden solche Monome ihrerseits verkettet (hintereinandergeschrieben). Wenn dann die Unbestimmten untereinander kommutieren, kann man in einem Monom alle Potenzen derselben Unbestimmten zu einer Potenz zusammenfassen.

Die leeren Markierungen

 

werden als gleich angesehen. Es gibt also nur eine leere Markierung, die das sog. „konstante“ Glied markiert.

Ist   eine Gruppe, kommen also Inverse dazu, dann kann man im kommutativen Fall (wie oben) alle Potenzen derselben Unbestimmten zu einer Potenz zusammenfassen. Soll die Verkettung der Unbestimmten aber nichtkommutativ sein, dann gelten immer die Kürzungsregeln[1]

 

und

 

Ein Polynom (oder eine formale Potenzreihe) korrespondiert mit einer Abbildung

 

(der „Markierung“) und wird geschrieben als  

MonomeBearbeiten

Diese aus verketteten Unbestimmten gebildeten Monome markieren einen Koeffizienten aus  . Für die Identität eines Polynoms oder einer formalen Potenzreihe ist es dabei wichtig, dass alle Monome mit gleicher Markierung zu einem einzigen Monom zusammengefasst (aufsummiert) sind.

Im Falle mehrerer Unbestimmter kann es interessant sein, deren Rolle in unterschiedlichen Varianten zu betrachten.

Beispiel

Das Polynom in zwei „Variablen“ (den Unbestimmten)  

     

hat über dem Grundring   die drei Monome

     

über dem Grundring   die zwei Monome

   

und über dem Grundring   die zwei Monome

   

jeweils mit anderen, in blasser Schrift gehaltenen Koeffizienten.

PolynomeBearbeiten

Ein Polynom in einer Unbestimmten   ist ein Ausdruck der Form

 

bei dem   eine nicht-negative ganze Zahl ist und die   Koeffizienten genannt werden. Ein Koeffizient   wird durch das (multiplikativ) beigestellte   „markiert“. Die Menge aller Polynome in (der Unbestimmten)   über einem unitären Ring   ist ebenfalls ein (unitärer) Ring mit Eins, der Polynomring in   über   der mit   bezeichnet wird.

Sind mehrere, aber endlich viele Unbestimmte beteiligt, dann ist

 

Handelt es sich um eine unendliche Menge von Unbestimmten, dann schreibt man den Polynomring als Monoidring   mit   als dem von den Unbestimmten erzeugten Monoid.

Um Nichtkommutativität auszudrücken schreibt man   und  .

Zwei Polynome sind dann und nur dann gleich, wenn sie in den Koeffizienten mit derselben Markierung übereinstimmen.

Im Gegensatz dazu können zwei Polynomfunktionen in einer (unabhängigen) Variablen   übereinstimmen oder nicht, je nachdem welchen Wert solches   hat.

Der Formalismus der Addition und Multiplikation von Polynomen – und die Beziehung zwischen Polynom und Polynomfunktion – wird im

beschrieben.

Formale PotenzreihenBearbeiten

Eine formale Potenzreihe in einer Unbestimmten   ist ein Ausdruck der Form

 

bei dem im Gegensatz zu den Polynomen unendlich viele Koeffizienten   von 0 verschieden sein können. Die Menge aller formalen Potenzreihen in (der Unbestimmten)   über einem unitären Ring   ist ebenfalls ein (unitärer) Ring, der Ring der formalen Potenzreihen in   über   der mit   bezeichnet wird.

Sind mehrere, aber endlich viele Unbestimmte beteiligt, dann ist

 

Bei beliebig (möglicherweise unendlich) vielen Unbestimmten findet sich im nichtkommutativen Fall die Bezeichnung  .[2]

Zwei formale Potenzreihen sind dann und nur dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen.

Der Formalismus der Addition und Multiplikation von formalen Potenzreihen wird im

erklärt.

Diese Potenzreihen tragen den Beinamen „formal“, weil es definitionsgemäß auf eine Konvergenz nicht ankommt. Kommen auch Potenzen mit negativen Exponenten vor, so spricht man von formalen Laurent-Reihen.

Dafür, dass ein (Ring-)Objekt   in eine formale Potenzreihe in   „eingesetzt“ werden kann, müssen jedoch einige Voraussetzungen hinsichtlich Vollständigkeit von   und Konvergenz der   erfüllt sein. Für reelles und komplexes   sind diese im

beschrieben.

AnmerkungenBearbeiten

  1. Die Quaternionen können als Faktorring eines nichtkommutativen Polynomrings   in den drei Unbestimmten   modulo dem von den Hamilton-Regeln (als zusätzlicher Kürzungsregeln) erzeugten (beidseitigen) Ideal konstruiert werden.
  2. Helmut Koch: Algebraic Number Theory (=  Encycl. Math. Sci.), 2nd printing of 1st. Auflage, Band 62, Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-63003-1, S. 167.

LiteraturBearbeiten

  • Vollrath: Algebra in der Sekundarstufe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17491-9, S. 68.