Cauchyscher Integralsatz

mathematischer Satz

Der cauchysche Integralsatz (nach Augustin Louis Cauchy) ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie. Er handelt von Kurvenintegralen für holomorphe (auf einer offenen Menge komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt er, dass zwei dieselben Punkte verbindende Wege das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist. Der Satz gewinnt seine Bedeutung unter anderem daraus, dass man ihn zum Beweis der cauchyschen Integralformel und des Residuensatzes benutzt.

Die erste Formulierung des Satzes stammt von 1814, als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den jordanschen Kurvensatz als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch das Lemma von Goursat ohne diese tiefgreifende Aussage aus der Topologie aus.

Der SatzBearbeiten

Der Integralsatz wurde in zahlreichen Versionen formuliert.

Cauchyscher Integralsatz für ElementargebieteBearbeiten

Sei   ein Elementargebiet, also ein Gebiet, auf dem jede holomorphe Funktion   eine Stammfunktion besitzt. Sterngebiete sind beispielsweise Elementargebiete. Der cauchysche Integralsatz besagt nun, dass

 

für jede geschlossene Kurve   (wobei   und  ). Für das Integralzeichen mit Kreis siehe Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven.

Ist   kein Elementargebiet, so ist die Aussage falsch. Zum Beispiel ist   auf dem Gebiet   holomorph, dennoch verschwindet   nicht über jede geschlossene Kurve. Beispielsweise gilt

 

für die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um   mit positivem Radius  .

Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version)Bearbeiten

Ist   offen und sind   zwei zueinander homotope Kurven in  , dann ist

 

für jede holomorphe Funktion  .

Ist   ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d. h.   ist ein Elementargebiet.

Bei erneuter Betrachtung des obigen Beispiels bemerkt man, dass   nicht einfach zusammenhängend ist.

Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version)Bearbeiten

Ist   ein Gebiet und   ein Zyklus in  , dann verschwindet

 

genau dann für jede holomorphe Funktion  , wenn   nullhomolog in   ist.

Isolierte SingularitätenBearbeiten

Windungszahl des IntegrationswegesBearbeiten

Es sei   ein Gebiet,   ein innerer Punkt und   holomorph. Sei   eine punktierte Umgebung, auf der   holomorph ist. Sei ferner   eine vollständig in   verlaufende geschlossene Kurve, die   genau einmal positiv orientiert umläuft, d. h. für die Umlaufzahl gilt   (insbesondere liegt   nicht auf  ). Mit dem Integralsatz gilt nun

 

Durch Verallgemeinerung auf beliebige Umlaufzahlen von   erhält man

 

Mithilfe der Definition des Residuums ergibt sich sogar

 

Der Residuensatz ist eine Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf mehrere isolierte Singularitäten und auf Zyklen.

BeispielBearbeiten

Es wird im Folgenden das Integral   mit   bestimmt. Wähle als Integrationsweg   einen Kreis mit Radius   um  , also

 

Ergibt eingesetzt:

 

Da man jede Funktion  , die auf einem Kreisring um   holomorph ist, in eine Laurent-Reihe entwickeln kann,  , ergibt sich bei der Integration um  :

 

Nun lässt sich obiges Ergebnis anwenden:  

 ,

wobei der Entwicklungskoeffizient   Residuum genannt wurde.

HerleitungBearbeiten

Folgende Herleitung, die allerdings die stetige komplexe Differenzierbarkeit voraussetzt, führt das komplexe Integral auf reelle zweidimensionale Integrale zurück.

Sei   mit   und   mit  . Dann gilt für das Integral entlang der Kurve   in der komplexen Ebene, bzw. für das äquivalente Linienintegral entlang der Kurve

 

in der reellen Ebene  

 

Damit wurde das komplexe Kurvenintegral durch zwei reelle Kurvenintegrale ausgedrückt.

Für eine geschlossene Kurve  , die ein einfach zusammenhängendes Gebiet S berandet, lässt sich der Satz von Gauß (hier wird die Stetigkeit der partiellen Ableitungen verwendet) anwenden

 

bzw. alternativ der Satz von Stokes

 

Ist die Funktion   in S komplex differenzierbar, müssen dort die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

    und    

gelten, sodass die obigen Integranden (egal ob in der Gauß- oder Stokes-Version) verschwinden:

 

Somit ist der cauchysche Integralsatz für holomorphe Funktionen auf einfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen.

Cauchyscher Integralsatz mit Wirtinger-Kalkül und Satz von StokesBearbeiten

Der cauchysche Integralsatz ergibt sich als leichte Folgerung aus dem Satz von Stokes, wenn man den Wirtinger-Kalkül zum Einsatz bringt[1]. Dabei wird zum Beweis des Integralsatzes die Berechnung des Kurvenintegrals verstanden als Integration der komplexwertigen Differentialform

 

über die geschlossene Kurve  , die das einfach zusammenhängende und von   berandete Gebiet   umläuft.

Der Wirtinger-Kalkül besagt nun, dass das Differential   die Darstellung

 

hat, woraus unmittelbar

 

folgt.[2]

Nun ist zunächst grundsätzlich

 

Weiterhin bedeutet die vorausgesetzte Holomorphiebedingung für   nach dem Wirtinger-Kalkül nichts weiter als

   ,

was unmittelbar

 

nach sich zieht.[3]

Insgesamt ergibt sich also:

 

und damit schließlich mittels Satz von Stokes:

 

AnmerkungBearbeiten

Es lässt sich mit Hilfe des Integrallemmas von Goursat zeigen, dass sich aus der komplexen Differenzierbarkeit allein – also ohne die zusätzliche Annahme der Stetigkeit der Ableitungen! – bereits der cauchysche Integralsatz und dann auch die Existenz aller höheren Ableitungen ergibt. Dieser Zugang zum cauchyschen Integralsatz umgeht den Satz von Stokes und ist unter didaktischen Gesichtspunkten vorzuziehen.

FolgerungenBearbeiten

Der Cauchysche Integralsatz ermöglicht unmittelbar Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra, welcher besagt, dass jedes komplexe Polynom über   in Linearfaktoren zerfällt, d. h., dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.

LiteraturBearbeiten

  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 143, Satz 4.7.3
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 57, Kapitel 3, Satz 1.4 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
  • Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
  • Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6, S. 19–20.
  2. Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6, S. 15, 20.
  3. Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6, S. 16, 20.