Komplexe Differentialform

Eine komplexe Differentialform ist ein mathematisches Objekt aus der komplexen Geometrie. Eine komplexe Differentialform ist eine Entsprechung der (reellen) Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten. Genauso wie im reellen Fall bilden auch die komplexen Differentialform eine graduierte Algebra. Eine komplexe Differentialform vom Grad (oder kurz k-Form) kann auf eindeutige Art und Weise in zwei Differentialformen zerlegt werden, die dann den Grad beziehungsweise mit haben. Um diese Zerlegung zu betonen, spricht man auch von (p,q)-Formen. Bei dieser kurzen Sprechweise wird auch klar, dass es sich um komplexe Differentialformen handelt, denn reelle Formen besitzen keine solche Zerlegung. Eine wichtige Rolle spielt der Kalkül der komplexen Differentialformen in der Hodge-Theorie.

Komplexe DifferentialformenBearbeiten

Sei   eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension  . Wähle

 

als eine lokale Basis des komplexifizierten Kotangentialraums. Die Kovektoren haben die lokale Darstellung

 

Die Räume in denen nur Basisvektoren der Form   vorkommen werden verbal als (1,0)-Formen und formelmäßig mit   bezeichnet. Analog dazu ist   der Raum der (0,1)-Formen, also der Kovektoren, welche nur Basisvektoren der Form   haben. Diese beiden Räume sind stabil, das heißt unter holomorphen Koordinatenwechseln werden diese Räume in sich selbst abgebildet. Aus diesem Grund sind die Räume   und   komplexe Vektorbündel über  .

Mit Hilfe des äußeren Produktes von komplexen Differentialformen, welches genauso wie für reelle Differentialformen definiert ist, kann man nun die Räume der  -Formen durch

 

definieren. Weiter definiert man noch den Raum   als die direkte Summe

 

der  -Formen mit  . Dies ist isomorph zur direkten Summe   der Räume der reellen Differentialformen. Außerdem ist für   eine Projektion

 

definiert, welche jeder komplexen Differentialform vom Grad   ihre  -Zerlegung zuordnet.

Eine  -Form hat also in lokalen Koordinaten   die eindeutige Darstellung

 

Da diese Darstellung doch sehr lang ist, ist es üblich die Kurzschreibweise

 

zu vereinbaren.

Dolbeault-OperatorenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Die äußere Ableitung

 

was gleichbedeutend ist mit

 

kann in   aufgespalten werden. Die Dolbeault-Operatoren

 

und

 

sind definiert durch

 

In lokalen Koordinaten bedeutet dies

 

und

 

Dabei sind   und   auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen Dolbeault-Operatoren.

Holomorphe DifferentialformenBearbeiten

Erfüllt eine Differentialform   die Gleichung  , so spricht man von einer holomorphen Differentialform. In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch

 

darstellen, wobei   holomorphe Funktionen sind. Der Vektorraum der holomorphen  -Formen auf   wird mit   notiert.

EigenschaftenBearbeiten

  • Für diese Operatoren gilt eine Leibniz-Regel. Seien   und  , dann gilt
 
und
 
  • Aus der Identität
 
folgt  ,   und  , denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad. Die Operatoren   und   eignen sich also für eine Kohomologietheorie. Diese trägt den Namen Dolbeault-Kohomologie.
  • Sei   eine Kählermannigfaltigkeit, also eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer verträglichen Riemann'schen Metrik  , so kann man den adjungierten Dolbeault-Quer-Operator   bezüglich dieser Metrik bilden. Der Operator   ist dann ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Anwendung findet dieser Operator in der (komplexen) Hodge-Theorie.

LiteraturBearbeiten