Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannsche Mannigfaltigkeit definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit,   ein hermitesches Vektorbündel und   ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

 

für   und   gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

BeispieleBearbeiten

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition   eine  -dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und   ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-OperatorBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

 

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen  . Dabei bezeichnet   den Gradienten der Funktion  , ein Vektorfeld auf  . Die Divergenz eines Vektorfeldes   auf   an der Stelle   ist definiert als die Spur der linearen Abbildung  ,  , wobei   der Levi-Civita-Zusammenhang auf   ist. Hat man als Definitionsbereich keine echte Mannigfaltigkeit, sondern eine offene Teilmenge des  , so ist der Zusammenhang   die gewöhnliche Richtungsableitung und   die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale KoordinatenBearbeiten

Es seien   lokale Koordinaten auf   und   die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit   für   seien die Komponenten der riemannschen Metrik   bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten   in lokalen Koordinaten lautet dann

 .

Hierbei ist   die inverse Matrix der Matrix  .

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds   ist

 ,

wobei   die Determinante der Matrix   ist.[1]

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

 

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik  . Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-OperatorBearbeiten

Sei   der Raum der Differentialformen über   und   die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit   bezeichnet. Dann heißt der Operator

 

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator.[2] Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-OperatorBearbeiten

Ein Dirac-Operator

 

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt,   ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-OperatorBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang   auf dem Vektorbündel   definiert. Sei außerdem   der Levi-Civita-Zusammenhang und   der durch   und   induzierte Zusammenhang auf dem Bündel  

dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

 

definiert. Die Abbildung   ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.[3]

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

 

Dabei ist   der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik  .

Lokale DarstellungBearbeiten

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen   die Darstellung[3]

 

EigenschaftenBearbeiten

  • Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
  • Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol   hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
  • Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
  • Sind   glatte Schnitte, so gilt
 .
  • Der Operator   ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich  . Die Definition des   auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über Dichtebündel nachgelesen werden.
  • Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator   bestimmt eindeutig einen Zusammenhang   auf dem Vektorbündel   und einen Schnitt  , so dass   gilt, wobei   der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

QuellenBearbeiten

  • Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry (= Pure and Applied Mathematics 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, Kapitel 17 Verallgemeinerte Vektoroperationen ISBN 3-8274-1356-7
  2. H. B. Lawson, M. Michelsohn: Spin Geometry. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 123
  3. a b Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 63–64.