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In der Mathematik bezeichnet man mit Kählermannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kählermannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kählermannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine glatte Mannigfaltigkeit,   eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung   mit   und   eine riemannsche Metrik, wobei   den Raum der glatten Vektorfelder auf   bezeichnet. Das Tripel   heißt Kählermannigfaltigkeit, wenn

  •  

für alle Vektorfelder   gilt und

  •   eine symplektische Form

ist.

Die durch

 

definierte 2-Form   heißt dann die Kähler-Form von  .

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
  • Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.