Kählermannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kählermannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kählermannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kählermannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definition

Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit, $J\colon TM\to TM$ eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung $J\colon TM\to TM$ mit $J^{2}=-Id$ und $g\colon {\mathcal {V}}(M)\times {\mathcal {V}}(M)\to C^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ eine riemannsche Metrik, wobei ${\mathcal {V}}(M)$ den Raum der glatten Vektorfelder auf $M$ bezeichnet. Das Tripel $(M,J,g)$ heißt Kählermannigfaltigkeit, wenn

• $g(JX,JY)=g(X,Y)$

für alle Vektorfelder $X,Y\in {\mathcal {V}}(M)$ gilt und

• $\omega (X,Y):=g(JX,Y)$ eine symplektische Form

ist.

Die durch

$\omega (X,Y):=g(JX,Y)$

definierte 2-Form $\omega$ heißt dann die Kähler-Form von $M$.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Siehe auch

• Quaternionische Kählermannigfaltigkeit

Weblinks

• A.L. Onishchik: Kähler manifold. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online). 

Literatur

• Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
• Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.