Die Hodge-Zerlegung beziehungsweise der Satz von Hodge ist eine zentrale Aussage der Hodge-Theorie. Diese Theorie verbindet die mathematischen Teilgebiete Analysis, Differentialgeometrie und algebraische Topologie. Benannt sind die Hodge-Zerlegung und die Hodge-Theorie nach dem Mathematiker William Vallance Douglas Hodge, der diese in den 1930er-Jahren als Erweiterung zur De-Rham-Kohomologie entwickelte.

Elliptischer Komplex

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Mit   werden glatte Schnitte in einem Vektorbündel bezeichnet. Sei   eine orientierte Riemann’sche Mannigfaltigkeit und   eine Folge von Vektorbündeln. Ein elliptischer Komplex ist eine Sequenz partieller Differentialoperatoren   erster Ordnung

 

so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Die Folge   ist ein Kokettenkomplex, das heißt, es gilt   für alle   und
  • für jedes   ist die Sequenz der Hauptsymbole
 
exakt. Dabei bezeichnet   die Bündelprojektion.

Die Räume   können beispielsweise als die Räume der Differentialformen verstanden werden.

Satz von Hodge

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Sei nun   eine kompakte, orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit und   die i-te Kohomologiegruppe des elliptischen Komplexes  . Außerdem definiere einen (Laplace)-Operator

 

durch

 

Dies ist ein elliptischer Operator. Nun gilt:

  • Die  -te Kohomologiegruppe   ist für alle   isomorph zum Kern von  , das heißt
 
  • Die Dimension der  -ten Kohomologiegruppe ist für alle   endlich
 
 
Dabei bezeichnet   den Kern und   das Bild eines Operators.

Beispiel: De-Rham-Kohomologie

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Der De-Rham-Komplex

 

ist ein elliptischer Komplex. Die Räume   sind wieder die Räume der Differentialformen i-ten Grades und   ist die äußere Ableitung. Die dazugehörige Sequenz der Hauptsymbole ist der Koszul-Komplex. Der Operator   ist der Hodge-Laplace-Operator. Den Kern dieses Operators nennt man den Raum der harmonischen Differentialformen, da dieser ja analog zum Raum der harmonischen Funktionen definiert ist. Nach dem Satz von Hodge existiert nun ein Isomorphismus zwischen der i-ten De-Rham-Kohomologiegruppe   und dem Raum der harmonischen   Differentialformen vom Grad  .

Außerdem sind

 

wohldefinierte Zahlen, da für kompakte Mannigfaltigkeiten die De-Rham-Kohomologiegruppen endliche Dimension haben. Diese Zahlen heißen Betti-Zahlen. Der Hodge-Stern-Operator   induziert auch einen Isomorphismus zwischen den Räumen   und  . Dies ist die Poincaré-Dualität und für die Betti-Zahlen gilt

 

Literatur

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  • Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific, Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270-853-3.